Questão 19. Em uma fábrica, 400 peças são produzidas diariamente por 10 funcionários que trabalham 8 horas por dia. Quantas peças seriam produzidas diariamente por 15 funcionários que trabalham 6 horas por dia, considerando que a dificuldade para produzir as peças dobrou?

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule quantas peças seriam produzidas diariamente nas novas condições. Informações dadas pelo enunciado (tudo que vamos usar):
\begin{aligned} &\text{Produção inicial: }P_1 = 400\\ \text{peças/dia},\\\ &\text{Número de funcionários inicial: }n_1 = 10,\\\ &\text{Horas de trabalho por dia (iniciais): }h_1 = 8,\\\ &\text{Número de funcionários novo: }n_2 = 15,\\\ &\text{Horas de trabalho por dia (novas): }h_2 = 6,\\\ &\text{Dificuldade de produzir (nova): dobrou em relação à inicial.} \end{aligned}çãçúáúáçãà
Não faço aqui nenhum cálculo: apenas listei o que o enunciado fornece e o que ele pede (a produção diária nova).

Passo 2

Modelo e raciocínio geral (explicando passo a passo a ideia que vamos usar).
Vamos assumir que a produção diária P é:
  • proporcional ao número de funcionários n (mais gente, mais peças),
  • proporcional às horas trabalhadas por dia h (mais horas, mais peças),
  • inversamente proporcional à dificuldade d (maior dificuldade → menos peças).
Formalizamos isso com uma fórmula de proporcionalidade direta/inversa. Introduzimos uma constante de produtividade por unidade que chamaremos de k. A fórmula fica:
P = k \cdot \frac{n\cdot h}{d}.
Explicando cada símbolo:
\begin{aligned} &P\\ \text{é a produção em peças por dia},\\\ &k\\ \text{é uma constante que representa quantas peças "puro" um trabalhador-hora produz quando }d=1,\\\ &n\\ \text{é o número de funcionários},\\\ &h\\ \text{é o número de horas trabalhadas por dia por funcionário},\\\ &d\\ \text{é um índice de dificuldade (quanto maior, mais difícil)}. \end{aligned}éçãçéçéúáéúáéíí
Por que escolhemos essa fórmula? Porque se dobrarmos n ou h mantendo o resto, P deve dobrar (proporcionalidade direta). Se dobrarmos d mantendo n e h, P deve cair pela metade (inversamente proporcional). Tudo isso combina com a fórmula acima.
Um exemplo simples para fixar: se k=2, n=3, h=4 e d=1, então P=2\cdot(3\cdot4)/1=24 peças/dia; se aumentarmos d para 2 (dobrar dificuldade), fica P=24/2=12 peças/dia — faz sentido.

Passo 3

Usar a situação inicial para determinar a constante k.
Na situação inicial temos P_1=400, n_1=10, h_1=8. Tomamos a dificuldade inicial como referência d_1=1 (índice relativo).
Substituímos na fórmula:
400 = k \cdot \frac{10\cdot 8}{1}.
Calcule passo a passo:
10\cdot 8 = 80,
k \cdot 80 = 400,
k = \frac{400}{80} = 5.
Interpretação: com dificuldade de referência d=1, cada trabalhador-hora produz 5 peças (essa é a interpretação prática de k).

Passo 4

Aplicar a fórmula para a nova situação usando k=5, n_2=15, h_2=6 e como a dificuldade dobrou temos d_2=2.
A fórmula dá:
P_2 = 5 \cdot \frac{15\cdot 6}{2}.
Calcule passo a passo:
15\cdot 6 = 90,
5\cdot 90 = 450,
P_2 = \frac{450}{2} = 225.
Logo a produção diária nas novas condições será 225 peças por dia.

Passo 5

Checagem rápida por razão relativa (intuição): as horas-trabalhador iniciais são n_1h_1=10\cdot8=80. Nas novas condições n_2h_2=15\cdot6=90. A razão é 90/80=1,125 (um aumento de 12,5\% na capacidade bruta de trabalho), mas a dificuldade dobrou (multiplicador 1/2), então o fator total é 1{,}125\cdot\frac{1}{2}=0{,}5625. Assim P_2=400\cdot0{,}5625=225, confirmando o cálculo.

Resposta

225

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