Questão 21 (UFAL)
Se z é um número complexo tal que z \cdot \bar{z}=25, então o módulo de z é:
a) \sqrt{5}
b) 5
c) 5 \sqrt{5}
d) 25
e) 50

Passo 1

O enunciado dá a igualdade z\cdot\overline{z}=25 e pede o módulo de z.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Temos um número complexo z.
  • A conjugada de z é \overline{z}.
  • A igualdade dada é z\cdot\overline{z}=25.
    A pergunta é: qual é o valor do módulo de z?

Passo 2

Vamos lembrar o que são conjugada e módulo de um número complexo, explicando passo a passo.
Se z é um número complexo escrito na forma z=a+bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária ( i^2=-1), então:
  • A conjugada de z é \overline{z}=a-bi. Isso significa que trocamos o sinal da parte imaginária.
  • O módulo de z, escrito |z|, é a distância do ponto (a,b) até a origem no plano complexo e é dado por
|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Agora uma propriedade fundamental (que vamos demonstrar): o produto de z pela sua conjugada é o quadrado do módulo:
z\cdot\overline{z}=|z|^{2}.
Demonstração direta: escrevendo z=a+bi temos
z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}-(bi)^{2}=a^{2}-b^{2}i^{2}.
Como i^{2}=-1, isso vira
a^{2}-b^{2}(-1)=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}.
Portanto a propriedade está provada e entendida: multiplicar pelo conjugado “elimina” a parte imaginária e dá a^{2}+b^{2}, que é |z|^{2}.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao enunciado: como z\cdot\overline{z}=|z|^{2}, a igualdade dada
z\cdot\overline{z}=25
pode ser reescrita como
|z|^{2}=25.

Passo 4

Para encontrar |z| tiramos a raiz quadrada em ambos os lados:
|z|=\sqrt{25}.
Lembre-se que o módulo |z| é uma distância e, portanto, é sempre não-negativo. Assim tomamos a raiz quadrada positiva:
|z|=5.

Passo 5

Um exemplo concreto para fixar: se z=3+4i, então \overline{z}=3-4i e
z\cdot\overline{z}=(3+4i)(3-4i)=9+16=25,
logo |z|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. Isso confirma que a relação e a solução estão coerentes.

Passo 6

Das alternativas apresentadas, a que corresponde a |z|=5 é a letra b).

Resposta

b) 5

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