Questão 21 (UFAL)
Se z é um número complexo tal que
, então o módulo de
é:
a)
b) 5
c)
d) 25
e) 50
Se z é um número complexo tal que
a)
b) 5
c)
d) 25
e) 50
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede o módulo de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Temos um número complexo
. - A conjugada de
é . - A igualdade dada é
.
A pergunta é: qual é o valor do módulo de?
Passo 2
Vamos lembrar o que são conjugada e módulo de um número complexo, explicando passo a passo.
Se
é um número complexo escrito na forma
, onde
e
são números reais e
é a unidade imaginária (
), então:
- A conjugada de
é . Isso significa que trocamos o sinal da parte imaginária. - O módulo de
, escrito , é a distância do ponto até a origem no plano complexo e é dado por
Agora uma propriedade fundamental (que vamos demonstrar): o produto de
pela sua conjugada é o quadrado do módulo:
Demonstração direta: escrevendo
temos
Como
, isso vira
Portanto a propriedade está provada e entendida: multiplicar pelo conjugado “elimina” a parte imaginária e dá
, que é
.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao enunciado: como
, a igualdade dada
pode ser reescrita como
Passo 4
Para encontrar
tiramos a raiz quadrada em ambos os lados:
Lembre-se que o módulo
é uma distância e, portanto, é sempre não-negativo. Assim tomamos a raiz quadrada positiva:
Passo 5
Um exemplo concreto para fixar: se
, então
e
logo
. Isso confirma que a relação e a solução estão coerentes.
Passo 6
Das alternativas apresentadas, a que corresponde a
é a letra b).
Resposta
b)