Questão 20 (USP)
Se z é um número complexo tal que
, então o módulo de
é:
a)
b)
c) 5
d) 12
e) 24
Se z é um número complexo tal que
a)
b)
c) 5
d) 12
e) 24
Passo 1
O enunciado dá que
é um número complexo e que
A pergunta é: qual é o módulo de
? As alternativas são:
Passo 2
Vamos entender o que significam
e o módulo de
, passo a passo e sem pressa.
Se escrevemos um número complexo
na forma cartesiana, então
onde
é a parte real e
é a parte imaginária (ambos são números reais) e
é a unidade imaginária com
.
A conjugada de
é obtida trocando o sinal da parte imaginária:
O módulo (ou valor absoluto) de
, denotado
, é a “distância” do ponto
à origem no plano complexo, e é dado por
Passo 3
Agora uma propriedade importante (muito usada e fácil de provar) é que o produto de
pela sua conjugada é o quadrado do módulo. Vamos calcular esse produto explicitamente usando
e
:
Fazendo a multiplicação:
porque os termos
e
se cancelam e
. Logo
Portanto, sempre que você ver
pode substituir por
.
Passo 4
Aplicando isso ao dado do problema: como
, temos
Para achar
tiramos a raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que o módulo é não negativo):
Simplificando a raiz:
Passo 5
Comparemos com as alternativas:
é a alternativa (b). Se quiser conferir rapidamente:
, que é exatamente o dado.
Resposta
(b)