Questão 20 (USP)
Se z é um número complexo tal que z \cdot \bar{z}=24, então o módulo de z é:
a) 2 \sqrt{3}
b) 2 \sqrt{6}
c) 5
d) 12
e) 24

Passo 1

O enunciado dá que z é um número complexo e que
z \cdot \overline{z} = 24.
A pergunta é: qual é o módulo de z? As alternativas são:
\text{(a) } 2\sqrt{3},\quad \text{(b) } 2\sqrt{6},\quad \text{\text{(c)} } 5,\quad \text{(d) } 12,\quad \text{(e) } 24.

Passo 2

Vamos entender o que significam \overline{z} e o módulo de z, passo a passo e sem pressa.
Se escrevemos um número complexo z na forma cartesiana, então
z = x + iy,
onde x é a parte real e y é a parte imaginária (ambos são números reais) e i é a unidade imaginária com i^2=-1.
A conjugada de z é obtida trocando o sinal da parte imaginária:
\overline{z} = x - iy.
O módulo (ou valor absoluto) de z, denotado |z|, é a “distância” do ponto (x,y) à origem no plano complexo, e é dado por
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.

Passo 3

Agora uma propriedade importante (muito usada e fácil de provar) é que o produto de z pela sua conjugada é o quadrado do módulo. Vamos calcular esse produto explicitamente usando z=x+iy e \overline{z}=x-iy:
z\cdot\overline{z} = (x+iy)(x-iy).
Fazendo a multiplicação:
(x+iy)(x-iy) = x^2 - ixy + ixy - i^2 y^2 = x^2 + y^2,
porque os termos -ixy e +ixy se cancelam e -i^2 y^2 = -(-1) y^2 = y^2. Logo
z\cdot\overline{z} = x^2 + y^2 = |z|^2.
Portanto, sempre que você ver z\overline{z} pode substituir por |z|^2.

Passo 4

Aplicando isso ao dado do problema: como z\overline{z}=24, temos
|z|^2 = 24.
Para achar |z| tiramos a raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que o módulo é não negativo):
|z| = \sqrt{24}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = \sqrt{4}\,\sqrt{6} = 2\sqrt{6}.

Passo 5

Comparemos com as alternativas: 2\sqrt{6} é a alternativa (b). Se quiser conferir rapidamente: (2\sqrt{6})^2 = 4\cdot 6 = 24, que é exatamente o dado.

Resposta

(b) 2\sqrt{6}

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