Questão 26. As equações de Maxwell, que formam os princípios matemáticos do eletromagnetismo, se resumem a quatro equações diferenciais parciais (na forma vetorial)
onde
e
são os campos elétrico e magnético, respectivamente,
é a densidade de cargas e
é o vetor densidade de corrente. Os parâmetros
e
são a permessividade e a permeabilidade do vácuo, respectivamente.
No caso especial, numa região do espaço onde não haja distribuição de cargas ou correntes, as equações de Maxwell se reduzem a
Ao tomar o rotacional das duas últimas equações, e usando a identidade vetorial
obtemos
Usando novamente as equações de Maxwell (2) a (5), concluímos que os campos elétrico e magnético, no vácuo, são soluções da mesma equação de onda
cuja velocidade de propagação é a velocidade da luz no vácuo:
Concluímos que as componentes dos campos elétrico e magnético se propagam, no vácuo, segundo as soluções da equação da onda, resolvida na Questão 25.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, a partir das equações de Maxwell no vácuo, que os campos elétrico
e magnético
satisfazem a equação da onda e para encontrar a velocidade de propagação
. Vamos usar cálculo vetorial (rotacional e identidade de dupla rotação) e as equações de Maxwell sem cargas nem correntes.
Passo 2
Tomamos o rotacional da lei de Faraday
para obter
Passo 3
Aplicamos a identidade vetorial
com
. Como em região sem cargas
, vem
Logo a equação do passo anterior fica
Passo 4
Agora usamos a lei de Ampère–Maxwell sem correntes
e substituímos em
, obtendo
Reescrevendo, surge a forma padrão da equação da onda
De modo análogo, tomando rotacional em
e usando
e
, chega-se a
Passo 5
Reconhecemos que as equações acima são a equação da onda vetorial, cuja velocidade de propagação
satisfaz
Resposta
As componentes de
e
satisfazem
e a velocidade de propagação é