Questão 26. As equações de Maxwell, que formam os princípios matemáticos do eletromagnetismo, se resumem a quatro equações diferenciais parciais (na forma vetorial)
\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} & =\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \\\ \nabla \cdot \vec{B} & =0 \\\ \nabla \times \vec{E} & =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\\ \nabla \times \vec{B} & =\mu_{0}\left(\vec{J}+\varepsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) \end{aligned}
onde \vec{E} e \vec{B} são os campos elétrico e magnético, respectivamente, \rho é a densidade de cargas e \vec{J} é o vetor densidade de corrente. Os parâmetros \varepsilon_{0}=8.8541878188 \times 10^{-12} \mathrm{~F} \cdot \mathrm{~m}^{-1} e \mu_{0}=1.25663706127 \times 10^{-6} \mathrm{~N} \cdot A^{-2} são a permessividade e a permeabilidade do vácuo, respectivamente.
No caso especial, numa região do espaço onde não haja distribuição de cargas ou correntes, as equações de Maxwell se reduzem a
\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} & =0 \\\ \nabla \cdot \vec{B} & =0 \\\ \nabla \times \vec{E} & =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\\ \nabla \times \vec{B} & =\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}
Ao tomar o rotacional das duas últimas equações, e usando a identidade vetorial
\nabla \times(\nabla \times \vec{A})=\nabla(\nabla \cdot \vec{A})-\nabla^{2} \vec{A},
obtemos
\begin{aligned} \nabla(\nabla \cdot \vec{E})-\nabla^{2} \vec{E} & =-\frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \vec{B} \\\ \nabla(\nabla \cdot \vec{B})-\nabla^{2} \vec{B} & =\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \vec{E} \end{aligned}
Usando novamente as equações de Maxwell (2) a (5), concluímos que os campos elétrico e magnético, no vácuo, são soluções da mesma equação de onda
\begin{aligned} \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}} \nabla^{2} \vec{E} & =\frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} \\\ \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}} \nabla^{2} \vec{B} & =\frac{\partial^{2} \vec{B}}{\partial t^{2}} \end{aligned}
cuja velocidade de propagação é a velocidade da luz no vácuo:
c=1 / \sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}=299792458 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Concluímos que as componentes dos campos elétrico e magnético se propagam, no vácuo, segundo as soluções da equação da onda, resolvida na Questão 25.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, a partir das equações de Maxwell no vácuo, que os campos elétrico \vec{E} e magnético \vec{B} satisfazem a equação da onda e para encontrar a velocidade de propagação c. Vamos usar cálculo vetorial (rotacional e identidade de dupla rotação) e as equações de Maxwell sem cargas nem correntes.

Passo 2

Tomamos o rotacional da lei de Faraday
\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
para obter
\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla \times \vec{B}\bigr).

Passo 3

Aplicamos a identidade vetorial
\nabla \times (\nabla \times \vec{A}) =\nabla(\nabla\cdot \vec{A})-\nabla^{2}\vec{A}
com \vec{A}=\vec{E}. Como em região sem cargas \nabla\cdot \vec{E}=0, vem
\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) =-\nabla^{2}\vec{E}.
Logo a equação do passo anterior fica
-\nabla^{2}\vec{E} =-\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla \times \vec{B}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \nabla^{2}\vec{E} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla \times \vec{B}\bigr).

Passo 4

Agora usamos a lei de Ampère–Maxwell sem correntes
\nabla \times \vec{B} =\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
e substituímos em \nabla^{2}\vec{E} =\partial_{t}(\nabla\times \vec{B}), obtendo
\nabla^{2}\vec{E} =\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.
Reescrevendo, surge a forma padrão da equação da onda
\frac{1}{\mu_{0}\varepsilon_{0}}\;\nabla^{2}\vec{E} =\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.
De modo análogo, tomando rotacional em \nabla\times \vec{B} e usando \nabla\cdot \vec{B}=0 e \nabla\times \vec{E}, chega-se a
\frac{1}{\mu_{0}\varepsilon_{0}}\;\nabla^{2}\vec{B} =\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}.

Passo 5

Reconhecemos que as equações acima são a equação da onda vetorial, cuja velocidade de propagação c satisfaz
c^{2}=\frac{1}{\mu_{0}\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}} =299\,792\,458\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

As componentes de \vec{E} e \vec{B} satisfazem
\frac{1}{\mu_{0}\varepsilon_{0}}\;\nabla^{2}\vec{E} =\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}, \quad \frac{1}{\mu_{0}\varepsilon_{0}}\;\nabla^{2}\vec{B} =\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}},
e a velocidade de propagação é
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}} =299\,792\,458\\ \mathrm{m/s}.

Exercícios relacionados