Questão 20. Um título do valor de
20.000,00
10 %$ a.m. Qual o valor recebido?
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Valor nominal (valor de face) do título:
. - Antecipação do pagamento:
meses antes do vencimento, logo (meses). - Taxa de desconto racional composta:
a.m., isto é, por mês. - Pergunta: qual o valor recebido (ou seja, qual o valor presente
que se obtém descontando racionalmente o título)?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
No regime de juros compostos a relação entre o valor presente
e o valor futuro
(valor de face) acumulado por
períodos é dada por:
onde
-
é o valor futuro (ou valor nominal do título), -
é o valor presente (o que queremos encontrar), -
é a taxa por período (no nosso caso por mês), -
é o número de períodos.
O desconto racional composto consiste justamente em calcular o valor presente que, capitalizado à taxa
durante
períodos, resulta em
. Isolando
obtemos a fórmula do desconto racional composto:
Explicação intuitiva: estamos “desfazendo” a capitalização composta; em vez de subtrair um desconto sobre
de modo comercial, buscamos o valor exato que, aplicando juros compostos, cresce até
.
Também é útil saber o valor do desconto em si:
mas o enunciado pede apenas
.
Passo 3
Calcular o fator
.
Primeiro:
Agora elevamos ao cubo (três meses):
Portanto
.
Passo 4
Aplicar a fórmula do desconto racional composto substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Fazer a divisão para obter o valor numérico (mostro de forma que dê para entender sem calculadora).
Para facilitar a divisão, multiplica-se numerador e denominador por
:
Agora uma divisão inteira aproximada:
Logo a parte inteira é
e o resto é
. Continuando a divisão para as casas decimais (trazendo zeros):
… o que dá a expansão decimal aproximada
Arredondando para centavos (duas casas decimais) obtemos
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida.
Se preferir checar multiplicando:
o que confirma que o valor presente está coerente. O desconto aplicado, por curiosidade, seria
Força aí — é normal ficar nervoso, mas essa é a receita padrão: transformar a lei de capitalização em uma divisão para obter o valor presente.