Questão 20. Um título do valor de \mathrm{R} \ 20.000,00 foi saldado três meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto racional composto aplicada foi deê10 %$ a.m. Qual o valor recebido?

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Valor nominal (valor de face) do título: N=\mathrm{R}\$\;20.000,00.
  • Antecipação do pagamento: 3 meses antes do vencimento, logo n=3 (meses).
  • Taxa de desconto racional composta: i=10\% a.m., isto é, i=0,10 por mês.
  • Pergunta: qual o valor recebido (ou seja, qual o valor presente P que se obtém descontando racionalmente o título)?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
No regime de juros compostos a relação entre o valor presente P e o valor futuro N (valor de face) acumulado por n períodos é dada por:
N = P(1+i)^{n},
onde
  • N é o valor futuro (ou valor nominal do título),
  • P é o valor presente (o que queremos encontrar),
  • i é a taxa por período (no nosso caso por mês),
  • n é o número de períodos.
O desconto racional composto consiste justamente em calcular o valor presente que, capitalizado à taxa i durante n períodos, resulta em N. Isolando P obtemos a fórmula do desconto racional composto:
P = \dfrac{N}{(1+i)^{n}}.
Explicação intuitiva: estamos “desfazendo” a capitalização composta; em vez de subtrair um desconto sobre N de modo comercial, buscamos o valor exato que, aplicando juros compostos, cresce até N.
Também é útil saber o valor do desconto em si:
D = N - P,
mas o enunciado pede apenas P.

Passo 3

Calcular o fator (1+i)^{n}.
Primeiro:
1+i = 1+0,10 = 1,10.
Agora elevamos ao cubo (três meses):
(1,10)^{2}=1,10\times1,10=1,21,
(1,10)^{3}=1,21\times1,10=1,331.
Portanto (1+i)^{n}=1,331.

Passo 4

Aplicar a fórmula do desconto racional composto substituindo os valores conhecidos:
P=\dfrac{N}{(1+i)^{n}}=\dfrac{\mathrm{R}\$\;20.000,00}{1,331}.

Passo 5

Fazer a divisão para obter o valor numérico (mostro de forma que dê para entender sem calculadora).
Para facilitar a divisão, multiplica-se numerador e denominador por 1000:
P=\dfrac{20.000,00}{1,331}=\dfrac{20.000.000}{1331}.
Agora uma divisão inteira aproximada:
1331\times15.000=19.965.000\quad(\text{ainda faltam }35.000),
1331\times26=34.606\quad(\text{soma }19.965.000+34.606=19.999.606,\text{ resta }394).
Logo a parte inteira é 15.026 e o resto é 394. Continuando a divisão para as casas decimais (trazendo zeros):
3940\div1331=2\\ (\text{resto }1278),
12780\div1331=9\\ (\text{resto }801),
8010\div1331=6\\ (\text{resto }24),
… o que dá a expansão decimal aproximada
P\approx\mathrm{R}\$\;15.026,296\ldots
Arredondando para centavos (duas casas decimais) obtemos
P\approx\mathrm{R}\$\;15.026,30.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida.
Se preferir checar multiplicando:
1,331\times15.026,30\approx20.000,00,
o que confirma que o valor presente está coerente. O desconto aplicado, por curiosidade, seria
D=N-P\approx\mathrm{R}\$\;4.973,70.
Força aí — é normal ficar nervoso, mas essa é a receita padrão: transformar a lei de capitalização em uma divisão para obter o valor presente.

Resposta

\mathrm{R}\$\,15.026,30

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