Questão 1:Em cada item responda verdadeiro ou falso,e justifique sua resposta.
a)( 1 ponto)Existe uma base de dois vetores em \mathbb{R}^{3}
b)( 1 ponto) O vetor de coordenadas de u=(a, b) na base canônica é (2 a,-3 b)
c)(1 ponto)Se u e v são ortogonais e não nulos,então \operatorname{Proj}_{v} u é um vetor não nulo.
d)(1 ponto)Em um sistema inconsistente podemos aplicar a regra de Cramer.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro itens que envolvem conceitos de álgebra linear: dimensão de um espaço vetorial e base, vetor de coordenadas na base canônica, projeção ortogonal e regra de Cramer. Para cada item usaremos a definição apropriada: dimensão e base de \mathbb{R}^n, coordenadas na base canônica, fórmula de projeção ortogonal e hipótese de determinante não nulo para Cramer.

Passo 2

Item (a): “Existe uma base de dois vetores em \mathbb{R}^{3}?”
Por definição, toda base de \mathbb{R}^3 tem exatamente \dim\mathbb{R}^3=3 vetores, pois é o número mínimo que gera o espaço. Com apenas 2 vetores não conseguimos cobrir todas as direções de \mathbb{R}^3.
Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Item (b): “O vetor de coordenadas de u=(a,b) na base canônica é (2a,-3b)?”
A base canônica de \mathbb{R}^2 é \{(1,0),(0,1)\}. Em relação a ela, u=(a,b) tem coordenadas (a,b). A afirmação (2a,-3b) não corresponde a (a,b).
Logo, é falsa.

Passo 4

Item (c): “Se u e v são ortogonais e não nulos, então \mathrm{Proj}_{v}u é um vetor não nulo?”
A projeção de u sobre v é
\mathrm{Proj}_{v}u = \frac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v.
Se u e v são ortogonais, u\cdot v=0, então \mathrm{Proj}_{v}u=0.
Logo, a afirmação é falsa.

Passo 5

Item (d): “Em um sistema inconsistente podemos aplicar a regra de Cramer?”
A regra de Cramer exige que o determinante da matriz de coeficientes seja não nulo, garantindo uma solução única. Em sistema inconsistente não há solução, o que implica determinante zero ou contradição. Assim, não se aplica Cramer.
Logo, é falsa.

Resposta

(a) Falso.
(b) Falso.
(c) Falso.
(d) Falso.

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