Questão 1:Em cada item responda verdadeiro ou falso,e justifique sua resposta.
a)( 1 ponto)Existe uma base de dois vetores em
.
b)( 1 ponto) O vetor de coordenadas de
na base canônica é
.
c)(1 ponto)Se
e
são ortogonais e não nulos,então
é um vetor não nulo.
d)(1 ponto)Em um sistema inconsistente podemos aplicar a regra de Cramer.
a)( 1 ponto)Existe uma base de dois vetores em
b)( 1 ponto) O vetor de coordenadas de
c)(1 ponto)Se
d)(1 ponto)Em um sistema inconsistente podemos aplicar a regra de Cramer.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro itens que envolvem conceitos de álgebra linear: dimensão de um espaço vetorial e base, vetor de coordenadas na base canônica, projeção ortogonal e regra de Cramer. Para cada item usaremos a definição apropriada: dimensão e base de
, coordenadas na base canônica, fórmula de projeção ortogonal e hipótese de determinante não nulo para Cramer.
Passo 2
Item (a): “Existe uma base de dois vetores em
?”
Por definição, toda base de tem exatamente
vetores, pois é o número mínimo que gera o espaço. Com apenas 2 vetores não conseguimos cobrir todas as direções de
.
Logo, a afirmação é falsa.
Por definição, toda base de
Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Item (b): “O vetor de coordenadas de
na base canônica é
?”
A base canônica de é
. Em relação a ela,
tem coordenadas
. A afirmação
não corresponde a
.
Logo, é falsa.
A base canônica de
Logo, é falsa.
Passo 4
Item (c): “Se
e
são ortogonais e não nulos, então
é um vetor não nulo?”
A projeção de sobre
é
A projeção de
Se
e
são ortogonais,
, então
.
Logo, a afirmação é falsa.
Logo, a afirmação é falsa.
Passo 5
Item (d): “Em um sistema inconsistente podemos aplicar a regra de Cramer?”
A regra de Cramer exige que o determinante da matriz de coeficientes seja não nulo, garantindo uma solução única. Em sistema inconsistente não há solução, o que implica determinante zero ou contradição. Assim, não se aplica Cramer.
Logo, é falsa.
A regra de Cramer exige que o determinante da matriz de coeficientes seja não nulo, garantindo uma solução única. Em sistema inconsistente não há solução, o que implica determinante zero ou contradição. Assim, não se aplica Cramer.
Logo, é falsa.
Resposta
(a) Falso.
(b) Falso.
(c) Falso.
(d) Falso.
(b) Falso.
(c) Falso.
(d) Falso.