Questão 1. [2.0] Calcule a integral dupla
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
no domínio
O conteúdo principal é usar uma mudança de variáveis linear para transformar
num retângulo e facilitar o cálculo.
Passo 2
Definimos as variáveis
Nesse caso, as desigualdades de
viram
ou seja, o novo domínio em
é o retângulo
.
Passo 3
Expressamos
e
em função de
. Somando e subtraindo as definições:
O jacobiano da transformação é
logo
dA = tfrac12,du,dv .]
Passo 4
Substituímos o integrando em
u,v . Primeiro,
Assim
Multiplicando pelo jacobiano
tfrac12 fica o integrando
Portanto
Passo 5
Calculamos primeiro a integral interna em
v :
Passo 6
Agora integramos em
u :