Questão 1. [2.0] Calcule a integral dupla
integral duplaD(4 x^2+4 x y) d A
onde
D=(x, y) in R^2: 0 <= y+x <= 3,0 <= y-x <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaDl(4x^2+4xyr),dA
no domínio
D=(x,y)inR^2:0<= x+y<=3,;0<= y-x<=2
O conteúdo principal é usar uma mudança de variáveis linear para transformar D num retângulo e facilitar o cálculo.

Passo 2

Definimos as variáveis
u = x+y, v = y - x
Nesse caso, as desigualdades de D viram
0<= u<=3, 0<= v<=2,
ou seja, o novo domínio em (u,v) é o retângulo [0,3]times[0,2].

Passo 3

Expressamos x e y em função de u,v. Somando e subtraindo as definições:
u+v = 2y, u-v=2x ;Longrightarrow; x=u-v2,; y=u+v2
O jacobiano da transformação é
J =det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v =det 12 & -12[4pt] 12 & 12 =12,
logo dA = tfrac12,du,dv.]

Passo 4

Substituímos o integrando em u,v. Primeiro,
x^2+xy =(u-v)^24 + (u-v)(u+v)4 =u^2-2uv+v^2 + u^2-v^24 =u^2-uv2
Assim
4x^2+4xy=4l(x^2+xyr) =2l(u^2-uvr)
Multiplicando pelo jacobiano tfrac12 fica o integrando
2(u^2-uv)cdottfrac12 = u^2 - uv
Portanto
integral duplaD(4x^2+4xy),dA =integralu=0^3!!integralv=0^2(u^2-uv),dv,du

Passo 5

Calculamos primeiro a integral interna em v:
integral0^2(u^2-uv),dv = l[u^2,v - u,tfracv^22r]0^2 =2u^2 - ucdot42 =2u^2-2u

Passo 6

Agora integramos em u:
integral0^3(2u^2-2u),du =l[tfrac2u^33-u^2r]0^3 =l(2cdot273-9r)-0 =18-9 =9

Resposta

9

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