Questão 5. (2 pontos) Determine a àrea superficial de uma esfera de raio R.

Passo 1

O enunciado pede a área superficial de uma esfera de raio R.
Conteúdo: cálculo de integrais de superfície usando coordenadas esféricas.
Vamos precisar da expressão do elemento de área em coordenadas (theta,phi), onde theta é o ângulo polar (de 0 a pi) e phi o azimutal (de 0 a 2pi).

Passo 2

Em coordenadas esféricas a parametrização da esfera de raio R é
r(theta,phi) = l(Rsinthetacosphi,;Rsinthetasinphi,;Rcosthetar)
O elemento de área resulta de l|partialthetartimespartialphirr|,dtheta,dphi, cujo módulo é
dS = R^2sintheta,dtheta,dphi

Passo 3

Montamos a integral dupla para a área A:
A = integralphi=0^2pi!integraltheta=0^pi R^2sintheta,dtheta,dphi

Passo 4

Primeiro integramos em theta:
integral0^pisintheta,dtheta = l[-costhetar]0^pi = 2
Em seguida em phi:
integral0^2pidphi = 2pi
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A = R^2 times 2 times 2pi = 4pi R^2

Resposta

A = 4pi R^2

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