Questão 2. [2.0] Use técnicas de integração para determinar a área da região plana delimitada pelos círculos x^2+y^2 <= 1 e x^2+y^2 <= 4 e que está entre as retas y=0 e y=x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região
R=(x,y)mid 1<= x^2+y^2<=4,;0<= y<= x
ou seja, a parte do anel entre os raios r=1 e r=2 que fica entre as retas y=0 e y=x. Vamos usar coordenadas polares (r,theta), já que os limites em r e theta ficam constantes.

Passo 2

Na mudança para coordenadas polares temos
x^2+y^2=r^2, y=0ifftheta=0, y=xifftheta=tfracpi4,
e o elemento de área é dA=r,dr,dtheta. Logo a área de R é
integraltheta=0^pi/4integralr=1^2r,dr,dtheta

Passo 3

Calcular primeiro a integral interna em r:
integral1^2r,dr =l[tfrac12,r^2r]1^2 =tfrac12l(2^2-1^2r) =tfrac12cdot3 =tfrac32

Passo 4

Agora integrar em theta:
integral0^pi/4tfrac32,dtheta =tfrac32l[thetar]0^pi/4 =tfrac32cdottfracpi4 =tfrac3pi8

Resposta

A área da região é tfrac3pi8.

Exercícios relacionados