Questão 1.[2,00 pontos]
Calcule a área do disco x^{2}+y^{2} \leq 4 usando integrais duplas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do disco definido por \,x^{2}+y^{2}\le4 usando integrais duplas. O conteúdo envolve mudança para coordenadas polares, já que a região é circular, e a aplicação do jacobiano para converter a integral dupla.

Passo 2

Escrevemos a área como integral de 1 sobre a região D:
A = \iint_{D} 1 \,dA.
Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dA = r\,dr\,d\theta,
e a região D vira
0 \le r \le 2, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 3

Substituindo em polares, obtemos
A = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} r \,dr\,d\theta.
Primeiro calculamos a integral em r:
\int_{0}^{2} r \,dr = \Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} = \tfrac{4}{2} = 2.

Passo 4

Agora integramos em \theta:
A = \int_{0}^{2\pi} 2 \,d\theta = 2\,[\theta]_{0}^{2\pi} = 2\cdot2\pi = 4\pi.

Resposta

A área do disco x^{2}+y^{2}\le4 é 4\pi.

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