Verifique se as relações abaixo são produtos internos em \mathrm{M}_{2 \times 2}. Justifique sua resposta em no máximo 3 linhas.
(a) \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}(A B);

Passo 1

O enunciado pede verificar se \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB) define produto interno em M_{2\times2}, isto é, se satisfaz simetria, bilinearidade e positividade.

Passo 2

Como \operatorname{tr} é linear e \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA), a forma é bilinear e simétrica.

Passo 3

Mas a positividade falha: para \displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1 & 0\end{pmatrix}
temos \langle A,A\rangle=\operatorname{tr}(A^2)=-2<0.

Resposta

Não é produto interno.

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