Questão 4.[2,50 pontos]
Considere a matriz
\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -3 & 5 \\\\ 5 & -1 \end{array}\right)
Imagine que essa matriz representa a matriz jacobiana de uma função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} no ponto (1,2,3). Podemos afirmar que (1,2,3) é um ponto crítico para f ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz jacobiana de uma função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} no ponto (1,2,3):
Jf(1,2,3)= \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ -3 & 5\\\\ 5 & -1 \end{pmatrix}.
Queremos saber se (1,2,3) é um ponto crítico. Para isso, lembramos que um ponto p é crítico se e somente se
\rank\bigl(Jf(p)\bigr)<\dim(\text{domínio})=2.

Passo 2

Para descobrir \rank(Jf(1,2,3)), verificamos se as duas colunas são linearmente independentes. Chamemos
v_1 = \begin{pmatrix} 1\\\ -3\\\ 5 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 2\\\ 5\\\ -1 \end{pmatrix}.
Procuramos escalares a,b tais que
a\,v_1 + b\,v_2 = \mathbf{0}.
Em coordenadas, isso dá o sistema
\begin{cases} a + 2b = 0,\\\\ -3a + 5b = 0,\\\\ 5a - b = 0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem a=-2b. Substituindo na segunda:
-3(-2b)+5b = 6b+5b =11b = 0 \implies b=0,
logo a=0. A terceira equação também se anula automaticamente. Como a única solução é a=b=0, concluímos que v_1 e v_2 são independentes, isto é,
\rank(Jf(1,2,3))=2.

Passo 4

Como \rank(Jf(1,2,3))=2 e a dimensão do domínio de f é 2, temos
\rank(Jf(1,2,3)) = \dim(\text{domínio}),
portanto a derivada no ponto é de posto máximo e (1,2,3) é um ponto regular, não crítico.

Resposta

Não. Como \rank(Jf(1,2,3))=2 que é igual à dimensão do domínio, o ponto não é crítico.

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