Questão 4(2,0) : Encontre a Série de Taylor de f(x)=\cos (2 x) em torno de a=\pi.

Passo 1

O enunciado pede a Série de Taylor de f(x)=\cos(2x) em torno de a=\pi. Isso significa escrever f(x) como soma de potências de (x-\pi). Para isso vamos usar a mudança de variável h=x-\pi e lembrar a expansão de \cos(u) em torno de u=0.

Passo 2

Definindo h = x-\pi, temos
f(x) = \cos\bigl(2x\bigr) = \cos\bigl(2(\pi + h)\bigr) = \cos\bigl(2\pi + 2h\bigr).
Como \cos(2\pi + 2h)=\cos(2\pi)\cos(2h)-\sin(2\pi)\sin(2h) e \cos(2\pi)=1, \sin(2\pi)=0, obtemos
f(x)=\cos(2h).

Passo 3

Agora usamos a Série de Taylor de \cos(u) em torno de u=0:
\cos(u) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,u^{2n}.
Aqui u=2h = 2(x-\pi), então
\cos\bigl(2(x-\pi)\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,\bigl(2(x-\pi)\bigr)^{2n}.

Passo 4

Simplificando o fator \bigl(2(x-\pi)\bigr)^{2n}=2^{2n}(x-\pi)^{2n}, a Série de Taylor de f(x) em torno de a=\pi fica
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,2^{2n}}{(2n)!}\,(x-\pi)^{2n}.

Resposta

\boxed{\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,4^{n}}{(2n)!}\,(x-\pi)^{2n}.}

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