Questão 4 (+2 pontos) Mostre que a área de um quadrilátero convexo corresponde à metade do produto de suas diagonais multiplicado pelo seno do ângulo entre elas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num quadrilátero convexo
, a área total é
onde
e
são as diagonais e
é o ângulo entre elas.
Para isso, vamos usar que a área de um triângulo com dois lados de comprimentos e
e ângulo entre eles igual a
vale
Para isso, vamos usar que a área de um triângulo com dois lados de comprimentos
Passo 2
Sejam
e
as diagonais que se cruzam em
. Definimos
de modo que
Passo 3
O quadrilátero
se divide em quatro triângulos
,
,
e
. Em cada um, os dois lados que emanam de
são segmentos das diagonais, e o ângulo entre eles é sempre
. Assim:
Passo 4
Somando as quatro áreas, temos