Questão 4 (+2 pontos) Mostre que a área de um quadrilátero convexo corresponde à metade do produto de suas diagonais multiplicado pelo seno do ângulo entre elas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num quadrilátero convexo ABCD, a área total é
\text{Área}(ABCD)\;=\;\tfrac12\;AC\;\cdot\;BD\;\sin\thetaÁ
onde AC e BD são as diagonais e \theta é o ângulo entre elas.
Para isso, vamos usar que a área de um triângulo com dois lados de comprimentos x e y e ângulo entre eles igual a \theta vale
\text{Área}=\tfrac12\,x\,y\,\sin\theta.Á

Passo 2

Sejam AC e BD as diagonais que se cruzam em O. Definimos
AO = p,\quad CO = q,\quad BO = r,\quad DO = s,
de modo que
AC = p + q \quad\text{e}\quad BD = r + s.

Passo 3

O quadrilátero ABCD se divide em quatro triângulos AOB, BOC, COD e DOA. Em cada um, os dois lados que emanam de O são segmentos das diagonais, e o ângulo entre eles é sempre \theta. Assim:
\begin{aligned} \text{Área}(AOB)&=\tfrac12\;AO\;\cdot\;BO\;\sin\theta=\tfrac12\,p\,r\,\sin\theta,\\\ \text{Área}(BOC)&=\tfrac12\;BO\;\cdot\;CO\;\sin\theta=\tfrac12\,r\,q\,\sin\theta,\\\ \text{Área}(COD)&=\tfrac12\;CO\;\cdot\;DO\;\sin\theta=\tfrac12\,q\,s\,\sin\theta,\\\ \text{Área}(DOA)&=\tfrac12\;DO\;\cdot\;AO\;\sin\theta=\tfrac12\,s\,p\,\sin\theta. \end{aligned}ÁÁÁÁ

Passo 4

Somando as quatro áreas, temos
\begin{aligned} \text{Área}(ABCD) &=\tfrac12\sin\theta\,(pr + rq + qs + sp)\\\ &=\tfrac12\sin\theta\bigl(p+q\bigr)\bigl(r+s\bigr)\\\ &=\tfrac12\,AC\,\cdot\,BD\,\sin\theta. \end{aligned}Á

Resposta

\text{Área}(ABCD)=\tfrac12\,AC\,\cdot\,BD\,\sin\theta.Á

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