Questão 2 (+2 pontos) Dadas as retas r, s e t, com t concorrente a r e a s nos pontos A e B, respectivamente, mostre as seguintes afirmações:
(a) Existem pontos P em r e Q em s de lados opostos com respeito a t e tais que A P \equiv B Q.
(b) Os ângulos P \hat{A} B e Q \hat{B} A são congruentes se, e somente se, r \| s.

Passo 1

Resumindo: temos três retas r,s,t com t encontrando r em A e s em B.
(a) Queremos construir pontos P\in r e Q\in s que fiquem em metades-planos opostos determinados por t e tais que
AP \equiv BQ.
(b) Precisamos mostrar que
\angle PAB \cong \angle QBA
se, e somente se, r\parallel s.
Os ingredientes são: construção por círculos para obter segmentos iguais e o critério dos ângulos alternos-internos para paralelismo.

Passo 2

Para (a), seja d>0 um valor fixo. Considere o círculo
\omega_A\colon \{X\mid AX=d\}.
Como r passa por A, \omega_A corta r em dois pontos distintos, P_1 e P_2, que ficam em metades-planos opostos de t. Escolha um desses pontos e o chame de P.

Passo 3

Analogamente, trace o círculo
\omega_B\colon \{Y\mid BY=d\}.
Ele corta s em dois pontos, em metades-planos opostos de t. Escolha Q\in s de modo que Q fique no lado oposto de t em relação a P.
Por construção temos
AP = d = BQ,
e P e Q estão em metades-planos opostos de t, como exigido.

Passo 4

Para (b) \,\Rightarrow: suponha r\parallel s. A reta AB é uma transversal a essas paralelas, de modo que o ângulo
\angle PAB (entre r e AB) é congruente ao ângulo alterno-interno
\angle QBA (entre s e BA). Logo
\angle PAB \cong \angle QBA.

Passo 5

Para (b) \,\Leftarrow: suponha \angle PAB \cong \angle QBA. Esses são precisamente ângulos alternos-internos formados pela transversal AB com as retas r e s. Pelo teorema converso do paralelismo, isso implica
r \parallel s.

Resposta

(a) Tomando círculos de raio d>0 centrados em A e B e escolhendo interseções adequadas com r e s, obtemos P e Q em lados opostos de t com AP=BQ.
(b) \angle PAB \cong \angle QBA se, e somente se, r\parallel s.

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