Questão 2 (+2 pontos) Dadas as retas
, s e
, com
concorrente a
e a
nos pontos
e
, respectivamente, mostre as seguintes afirmações:
(a) Existem pontos
em
e
em
de lados opostos com respeito a
e tais que
.
(b) Os ângulos
e
são congruentes se, e somente se,
.
(a) Existem pontos
(b) Os ângulos
Passo 1
Resumindo: temos três retas
com
encontrando
em
e
em
.
(a) Queremos construir pontos e
que fiquem em metades-planos opostos determinados por
e tais que
(a) Queremos construir pontos
(b) Precisamos mostrar que
se, e somente se, .
Os ingredientes são: construção por círculos para obter segmentos iguais e o critério dos ângulos alternos-internos para paralelismo.
se, e somente se,
Os ingredientes são: construção por círculos para obter segmentos iguais e o critério dos ângulos alternos-internos para paralelismo.
Passo 2
Para (a), seja
um valor fixo. Considere o círculo
Como
passa por
,
corta
em dois pontos distintos,
e
, que ficam em metades-planos opostos de
. Escolha um desses pontos e o chame de
.
Passo 3
Analogamente, trace o círculo
Ele corta
em dois pontos, em metades-planos opostos de
. Escolha
de modo que
fique no lado oposto de
em relação a
.
Por construção temos
Por construção temos
e
e
estão em metades-planos opostos de
, como exigido.
Passo 4
Para (b)
: suponha
. A reta
é uma transversal a essas paralelas, de modo que o ângulo
(entre
e
) é congruente ao ângulo alterno-interno
(entre
e
). Logo
Passo 5
Para (b)
: suponha
. Esses são precisamente ângulos alternos-internos formados pela transversal
com as retas
e
. Pelo teorema converso do paralelismo, isso implica
Resposta
(a) Tomando círculos de raio
centrados em
e
e escolhendo interseções adequadas com
e
, obtemos
e
em lados opostos de
com
.
(b) se, e somente se,
.
(b)