Questão 5 (+2 pontos) Em um retângulo A B C D, \overline{A D}>\overline{A B}. Prove que existe um ponto M sobre A D tal que B \hat{M} A=B \hat{M} C e represente o comprimento de M D em termos de \overline{A D} e \overline{A B}.

Passo 1

Temos o retângulo ABCD com AB\perp BC, BC\perp CD, CD\perp DA e AD>AB. Queremos mostrar que existe um ponto M sobre o lado AD tal que
\angle BMA \;=\;\angle BMC
e expressar MD em função de AD e AB.
Para resolver isso, vamos usar coordenadas cartesianas para parametrizar M sobre AD, calcular vetores e impor a igualdade dos cossenos dos ângulos \angle BMA e \angle BMC.

Passo 2

Escolhendo coordenadas:
A=(0,0),\quad B=(b,0),\quad C=(b,a),\quad D=(0,a),
onde b=AB e a=AD.
Um ponto genérico M em AD tem coordenadas
M=(0,m),\quad 0\le m\le a.
Definimos os vetores
\vec{MA} = A - M = (0,-m), \quad \vec{MB} = B - M = (b,-m), \quad \vec{MC} = C - M = (b,a-m).

Passo 3

Para que \angle BMA = \angle BMC, basta igualar os cossenos desses ângulos:
\cos\angle BMA =\frac{\vec{MA}\cdot\vec{MB}}{\|\vec{MA}\|\;\|\vec{MB}\|}, \quad \cos\angle BMC =\frac{\vec{MC}\cdot\vec{MB}}{\|\vec{MC}\|\;\|\vec{MB}\|}.
Como \|\vec{MB}\| cancela em ambos os lados, obtemos
\frac{\vec{MA}\cdot\vec{MB}}{\|\vec{MA}\|} =\frac{\vec{MC}\cdot\vec{MB}}{\|\vec{MC}\|}.
Calculando cada parte:
\vec{MA}\cdot\vec{MB} = (0)(b)+(-m)(-m)=m^2, \quad \|\vec{MA}\|=m,
\vec{MC}\cdot\vec{MB} = b^2 -m(a-m)=b^2 -am +m^2, \quad \|\vec{MC}\|=\sqrt{\,b^2+(a-m)^2\,}.
A igualdade fica
\frac{m^2}{m} =\frac{b^2 -am +m^2}{\sqrt{b^2+(a-m)^2}},
ou seja
m = \frac{b^2 -am +m^2}{\sqrt{b^2+(a-m)^2}}.

Passo 4

Elevando ao quadrado e simplificando, chega-se à equação quadrática em m:
m^2 -2a m + b^2 =0.
Suas raízes são
m = a \pm \sqrt{\,a^2 - b^2\,}.
Como 0\le m\le a (ponto M entre A e D), escolhemos
m = a - \sqrt{\,a^2 - b^2\,}.
Portanto
MD = a - m = \sqrt{\,a^2 - b^2\,}.

Resposta

\boxed{MD = \sqrt{\,AD^2 - AB^2\,}.}

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