Questão 1 (+2 pontos) Dados uma reta r e um ponto A fora de r, mostre que a perpendicular a r passando por A atinge o menor comprimento entre todos os segmentos determinados por A e um ponto de r.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma reta r e um ponto A fora de r, e pede para mostrar que, entre todos os segmentos que unem A a um ponto qualquer P de r, aquele que é perpendicular a r (isto é, o segmento AH, onde H é o pé da perpendicular) é o de menor comprimento. Vamos usar conceitos de distância em triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Denotemos por H o pé da perpendicular de A sobre r. Por definição, AH é perpendicular a r, e H está sobre r.
Seja P um ponto arbitrário em r. Então os pontos A, H e P formam um triângulo \triangle AHP que é retângulo em H, pois \angle AHP=90^\circ.

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo AHP vale
AP^2 \;=\; AH^2 + HP^2.
Como HP^2\ge0, segue que
AP^2 \;\ge\; AH^2 \quad\Longrightarrow\quad AP \;\ge\; AH.

Passo 4

A desigualdade AP\ge AH mostra que, para todo P\in r, o segmento AP tem comprimento ao menos AH. A igualdade só ocorre se e somente se HP=0, isto é, quando P\equiv H.

Resposta

O segmento perpendicular AH é o de menor comprimento entre todos os segmentos que unem A a um ponto de r.

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