Questão 1 (+2 pontos) Dados uma reta
e um ponto
fora de
, mostre que a perpendicular a
passando por
atinge o menor comprimento entre todos os segmentos determinados por
e um ponto de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma reta
e um ponto
fora de
, e pede para mostrar que, entre todos os segmentos que unem
a um ponto qualquer
de
, aquele que é perpendicular a
(isto é, o segmento
, onde
é o pé da perpendicular) é o de menor comprimento. Vamos usar conceitos de distância em triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Denotemos por
o pé da perpendicular de
sobre
. Por definição,
é perpendicular a
, e
está sobre
.
Seja um ponto arbitrário em
. Então os pontos
,
e
formam um triângulo
que é retângulo em
, pois
.
Seja
Passo 3
Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo
vale
Como
, segue que
Passo 4
A desigualdade
mostra que, para todo
, o segmento
tem comprimento ao menos
. A igualdade só ocorre se e somente se
, isto é, quando
.
Resposta
O segmento perpendicular
é o de menor comprimento entre todos os segmentos que unem
a um ponto de
.