Questão 3 (+2 pontos) Mostre que a região interna de um círculo é convexa.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a região interna de um círculo é um conjunto convexo. Vamos usar a definição de convexidade: um conjunto
é convexo se, para quaisquer pontos
e qualquer
, o ponto
também pertence a
.
Passo 2
Seja um círculo de centro
e raio
. Definimos a região interna como
Queremos provar que
é convexo, isto é, que para quaisquer
e qualquer
vale
.
Passo 3
Tomemos
. Então
Seja
com
. Precisamos mostrar que
.
Passo 4
Pelo triângulo,
Como
e
, segue
Logo
.
Resposta
A demonstração mostra que todo ponto do segmento entre quaisquer
fica em
, portanto a região interna do círculo é convexa.