Questão 3 (+2 pontos) Mostre que a região interna de um círculo é convexa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a região interna de um círculo é um conjunto convexo. Vamos usar a definição de convexidade: um conjunto C\subset\mathbb{R}^2 é convexo se, para quaisquer pontos p,q\in C e qualquer t\in[0,1], o ponto
(1-t)p + t\,q
também pertence a C.

Passo 2

Seja um círculo de centro c\in\mathbb{R}^2 e raio R>0. Definimos a região interna como
D = \{\,x\in\mathbb{R}^2 \mid \lVert x - c\rVert < R\}.
Queremos provar que D é convexo, isto é, que para quaisquer p,q\in D e qualquer t\in[0,1] vale (1-t)p + t\,q \in D.

Passo 3

Tomemos p,q\in D. Então
\lVert p - c\rVert < R \quad\text{e}\quad \lVert q - c\rVert < R.
Seja
s = (1 - t)p + t\,q,
com t\in[0,1]. Precisamos mostrar que \lVert s - c\rVert < R.

Passo 4

Pelo triângulo,
\lVert s - c\rVert = \lVert (1 - t)(p - c) + t(q - c)\rVert \le (1 - t)\lVert p - c\rVert + t\lVert q - c\rVert.
Como \lVert p - c\rVert < R e \lVert q - c\rVert < R, segue
\lVert s - c\rVert < (1 - t)R + tR = R.
Logo s\in D.

Resposta

A demonstração mostra que todo ponto do segmento entre quaisquer p,q\in D fica em D, portanto a região interna do círculo é convexa.

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