Questão 3 (+2 pontos) Mostre que todo triângulo de lados medindo a, b, e c e alturas relativas a estes lados h_{a}, h_{b} e h_{c}, respectivamente, é semelhante a um triângulo de lados medindo \frac{1}{h_{a}}, \frac{1}{h_{b}} e \frac{1}{h_{c}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que um triângulo qualquer, de lados medindo a, b e c e alturas relativas a esses lados h_{a}, h_{b} e h_{c}, é semelhante a outro triângulo cujos lados medem \tfrac{1}{h_{a}}, \tfrac{1}{h_{b}} e \tfrac{1}{h_{c}}. O conteúdo que vamos usar é a fórmula da área de um triângulo em função de um lado e de sua altura correspondente.

Passo 2

Seja \Delta a área do triângulo. Usamos a fórmula
\Delta = \tfrac12\,a\,h_{a} = \tfrac12\,b\,h_{b} = \tfrac12\,c\,h_{c}.
Isso vale porque a área pode ser calculada como “base vezes altura sobre 2” para cada um dos três lados.

Passo 3

Da igualdade acima isolamos cada altura:
h_{a} = \frac{2\Delta}{a}, \quad h_{b} = \frac{2\Delta}{b}, \quad h_{c} = \frac{2\Delta}{c}.
Em seguida, invertendo cada uma,
\frac{1}{h_{a}} = \frac{a}{2\Delta}, \quad \frac{1}{h_{b}} = \frac{b}{2\Delta}, \quad \frac{1}{h_{c}} = \frac{c}{2\Delta}.

Passo 4

Os comprimentos \tfrac{1}{h_{a}}, \tfrac{1}{h_{b}} e \tfrac{1}{h_{c}} são iguais a \tfrac{a}{2\Delta}, \tfrac{b}{2\Delta} e \tfrac{c}{2\Delta}, ou seja, formam um triângulo cujos lados são proporcionais a a, b e c pelo fator comum \tfrac{1}{2\Delta}. Pelo critério de semelhança Lado–Lado–Lado (SSS), esse triângulo é semelhante ao triângulo original de lados a, b, c.

Resposta

Os dois triângulos são semelhantes, pois seus lados são proporcionais:
\bigl(\tfrac{1}{h_{a}} : \tfrac{1}{h_{b}} : \tfrac{1}{h_{c}}\bigr) = \bigl(a : b : c\bigr).

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