Questão 3 (+2 pontos) Mostre que todo triângulo de lados medindo
, e
e alturas relativas a estes lados
e
, respectivamente, é semelhante a um triângulo de lados medindo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que um triângulo qualquer, de lados medindo
,
e
e alturas relativas a esses lados
,
e
, é semelhante a outro triângulo cujos lados medem
,
e
. O conteúdo que vamos usar é a fórmula da área de um triângulo em função de um lado e de sua altura correspondente.
Passo 2
Seja
a área do triângulo. Usamos a fórmula
Isso vale porque a área pode ser calculada como “base vezes altura sobre 2” para cada um dos três lados.
Passo 3
Da igualdade acima isolamos cada altura:
Em seguida, invertendo cada uma,
Passo 4
Os comprimentos
,
e
são iguais a
,
e
, ou seja, formam um triângulo cujos lados são proporcionais a
,
e
pelo fator comum
. Pelo critério de semelhança Lado–Lado–Lado (SSS), esse triângulo é semelhante ao triângulo original de lados
,
,
.
Resposta
Os dois triângulos são semelhantes, pois seus lados são proporcionais: