Questão 2 ( +2 pontos) Prove que a área de um triângulo qualquer não ultrapassa a média das áreas dos triângulos equiláteros construídos sobre seus lados. Além disso, a igualdade ocorre se, e somente se, o triângulo original for equilátero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo qualquer de lados a,b,c e área T, vale
T \;\le\;\frac{1}{3}\bigl(A_{\rm eq}(a)+A_{\rm eq}(b)+A_{\rm eq}\text{(c)}\bigr)
onde A_{\rm eq}(x) é a área do triângulo equilátero de lado x. Além disso, queremos ver que a igualdade ocorre sse o triângulo original for equilátero. Vamos usar a fórmula de Heron para T e a expressão da área de um equilátero para montar a desigualdade.

Passo 2

A área de um triângulo equilátero de lado x é
A_{\rm eq}(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}\,x^2.
Logo a média das três áreas é
\frac{1}{3}\bigl(A_{\rm eq}(a)+A_{\rm eq}(b)+A_{\rm eq}\text{(c)}\bigr) =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2+c^2)\Bigr) =\frac{\sqrt{3}}{12}(a^2+b^2+c^2).

Passo 3

Pela fórmula de Heron, se s=\tfrac{a+b+c}{2} então
T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},
e é clássico que
16T^2 \;=\;2\bigl(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\bigr)-\bigl(a^4+b^4+c^4\bigr).

Passo 4

Queremos mostrar
T \;\le\;\frac{\sqrt{3}}{12}(a^2+b^2+c^2).
Como ambos os lados são não negativos, elevamos ao quadrado:
T^2 \;\le\;\frac{3}{144}(a^2+b^2+c^2)^2 \;\iff\; 48\,T^2 \;\le\;(a^2+b^2+c^2)^2.
Substituindo 48T^2=3\bigl[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)\bigr], fica
(a^2+b^2+c^2)^2 -3\bigl[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)\bigr] \;=\;2\bigl[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2\bigr]\ge0.
Isso prova a desigualdade desejada.

Passo 5

A igualdade em
2\bigl[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2\bigr]=0
só ocorre se a^2=b^2=c^2, ou seja a=b=c. Então a igualdade na desigualdade original vale se, e somente se, o triângulo for equilátero.

Resposta

T \;\le\;\frac{1}{3}\bigl(A_{\rm eq}(a)+A_{\rm eq}(b)+A_{\rm eq}\text{(c)}\bigr),
com igualdade se, e somente se, o triângulo original for equilátero.

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