Questão 2 ( +2 pontos) Prove que a área de um triângulo qualquer não ultrapassa a média das áreas dos triângulos equiláteros construídos sobre seus lados. Além disso, a igualdade ocorre se, e somente se, o triângulo original for equilátero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num triângulo qualquer de lados
e área
, vale
onde
é a área do triângulo equilátero de lado
. Além disso, queremos ver que a igualdade ocorre sse o triângulo original for equilátero. Vamos usar a fórmula de Heron para
e a expressão da área de um equilátero para montar a desigualdade.
Passo 2
A área de um triângulo equilátero de lado
é
Logo a média das três áreas é
Passo 3
Pela fórmula de Heron, se
então
e é clássico que
Passo 4
Queremos mostrar
Como ambos os lados são não negativos, elevamos ao quadrado:
Substituindo
, fica
Isso prova a desigualdade desejada.
Passo 5
A igualdade em
só ocorre se
, ou seja
. Então a igualdade na desigualdade original vale se, e somente se, o triângulo for equilátero.
Resposta
com igualdade se, e somente se, o triângulo original for equilátero.