QUESTÃO 5. [2 PONTOS] De uma população normal com variância 25 extrai-se uma amostra aleatóría simples de tamanho n com o objetivo de se estimar a média popt : ional \mu com um nível de confiança de 94 \% e margem de erro de 2 . Qual deve ser o tamanho da amostra?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma população normal com variância conhecida \sigma^2=25 (logo \sigma=5) e queremos estimar a média \mu por um intervalo de confiança de 94\% com margem de erro E=2. O conteúdo de matéria é estimação pontual e cálculo de tamanho de amostra para intervalo de confiança de média com variância conhecida. Vamos precisar do valor crítico z_{\alpha/2} e da fórmula
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 2

Como o nível de confiança é 94\%, temos \alpha=1-0{,}94=0{,}06 e \alpha/2=0{,}03. O valor crítico z_{\alpha/2} é dado por
z_{0{,}97} = z_{1-\alpha/2}\approx 1{,}8808.

Passo 3

Usamos a relação entre margem de erro E e tamanho de amostra n:
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\Longrightarrow\quad n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}.

Passo 4

Substituindo \sigma=5, z_{\alpha/2}\approx1{,}8808 e E=2:
n = \left(\frac{1{,}8808 \times 5}{2}\right)^{2} = \bigl(4{,}702\bigr)^{2} \approx 22{,}11.
Como n precisa ser inteiro e garantir a margem de erro, arredondamos para cima:
n = 23.

Resposta

O tamanho mínimo da amostra deve ser 23.

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