QUESTĀO 3. [2.5 PONTOS] Se a variável aleatória X tem sua f.d.p. dada por:
f(x)=\left\{\begin{aligned} k x, & \text { se } 1 \leq x \leq 3 \\\\ 0, & \text { outro casso } \end{aligned}\right.
a) Qual valor deve ter a constante k ?
b) Determine P(2 \leq X \leq 3).
c) Determine a esperança de X.

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória contínua X\) com densidade \[f(x)= \begin{cases} k\,x,&1\le x\le3,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
e pede:
a) encontrar a constante de normalização k\], b) calcular \(P(2\le X\le3),
c) determinar a esperança \mathbb{E}[X].
Para isso vamos usar a condição de normalização de uma f.d.p., integração para obter probabilidades e a fórmula de esperança.

Passo 2

Para achar k usamos a condição
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = 1,
que, como f(x)=0 fora de [1,3], vira
\int_{1}^{3}k\,x\,dx = 1.
Calculando a integral:
k\int_{1}^{3}x\,dx = k\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{3} = k\Bigl(\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\Bigr) = 4k.
Daí 4k=1, logo
k = \frac{1}{4}.

Passo 3

Para P(2\le X\le3) fazemos
P(2\le X\le3) = \int_{2}^{3}f(x)\,dx = \int_{2}^{3}\frac{1}{4}x\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{2}^{3} = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{9}{2}-\frac{4}{2}\Bigr) = \frac{1}{4}\cdot\frac{5}{2} = \frac{5}{8}.

Passo 4

Para a esperança usamos
\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx = \int_{1}^{3}x\cdot\frac{1}{4}x\,dx = \frac{1}{4}\int_{1}^{3}x^2\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{3} = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{27}{3}-\frac{1}{3}\Bigr) = \frac{1}{4}\cdot\frac{26}{3} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}.

Resposta

a) k = \tfrac{1}{4}
b) P(2\le X\le3)=\tfrac{5}{8}
c) \mathbb{E}[X]=\tfrac{13}{6}

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