Questão 4 [2 pts - 1 cada]: Usando congruência módulo m, encontre
o resto da divisão de 4^{100} por 7 .

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 4^{100} por 7. O conteúdo principal é aritmética modular, em particular a ideia de que potências de um número em módulo podem apresentar ciclos de resíduos, ou então usar o pequeno teorema de Fermat ( a^{p-1}\equiv1\pmod p quando p é primo e não divide a). Aqui vamos buscar diretamente o ciclo das potências de 4 módulo 7.

Passo 2

Calculamos potências baixas de 4 em módulo 7 até encontrar 1:
\;4^1\equiv4\pmod7
\;4^2\equiv16\equiv2\pmod7
\;4^3\equiv4^2\cdot4\equiv2\cdot4\equiv8\equiv1\pmod7
Logo, o ciclo de resíduos de 4^n módulo 7 tem comprimento 3.

Passo 3

Escrevendo 100 em função de 3:
100 = 3\cdot 33 + 1.
Logo
4^{100} = 4^{3\cdot 33 + 1} = (4^3)^{33}\cdot4^1 \equiv 1^{33}\cdot4 \equiv 4 \pmod7.

Resposta

4

Exercícios relacionados