Questão 4 [2 pts - 1 cada]: Usando congruência módulo m, encontre
o resto da divisão de 1!+2!+3!+\ldots+99!+100 ! por 12 .

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de
1! + 2! + 3! + \cdots + 99! + 100!
por 12. O conteúdo principal é aritmética modular e a propriedade de que, a partir de certo ponto, n! é múltiplo de 12.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros fatoriais módulo 12:
\;1! = 1\equiv 1\pmod{12},
\;2! = 2\equiv 2\pmod{12},
\;3! = 6\equiv 6\pmod{12}.

Passo 3

Para n\ge4, o fatorial n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)! contém pelo menos os fatores 4, 3 e 2, de modo que
n!\equiv 0\pmod{12}
para todo n\ge4.

Passo 4

Logo, a soma toda reduz-se a
1! + 2! + 3! + \sum_{n=4}^{100}n! \equiv 1 + 2 + 6 + 0 \pmod{12}
ou seja,
1 + 2 + 6 = 9\pmod{12}.

Resposta

O resto da divisão é 9.

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