Questão 2: ( 3,0 pontos) Em cada item abaixo, verifique se a transformação linear T dada é injetora, sobrejetora e isomorfismo. Se T for um isomorfismo, determine T^{-1}. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y, z)=(x-3 y+5 z,-x+4 y-z).
e pede para verificar se ela é injetora (kernel trivial), sobrejetora (imagem igual a \mathbb{R}^2) e isomorfismo (bijetora). Para isso usaremos sua representação matricial, o Teorema da Dimensão (posto + nulidade) e, se necessário, resolveremos o sistema associado.
de modo que T(x,y,z)=A\,(x,y,z)^T.
Definições chave:
– T é injetora se e somente se \ker T=\{0\}.
– T é sobrejetora se e somente se \operatorname{rank}(A)=\dim(\mathbb{R}^2)=2.
– Pelo Teorema da Dimensão, \dim(\ker T)+\operatorname{rank}(A)=3.
Substituindo em x-3y+5z=0\]:
\[x-3(-4z)+5z=0\implies x+12z+5z=0\implies x=-17z.\]
Logo
\[\ker T=\{(-17z,\,-4z,\;z)\mid z\in\mathbb{R}\} =\operatorname{span}\{(-17,-4,1)\},\]
que é de dimensão 1. Portanto \(\ker T\neq\{0\} e T não é injetora.
Passo 4
Como \dim(\ker T)=1, pelo Teorema da Dimensão
\operatorname{rank}(A)=3-1=2.
Como o posto de A é 2, que é exatamente \dim(\mathbb{R}^2), concluímos que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2. Assim, T é sobrejetora.
Passo 5
T não é injetora (kernel de dimensão 1) e é sobrejetora (posto 2). Logo não é bijetora e, portanto, não é um isomorfismo. Não existe T^{-1} definido em todo \mathbb{R}^2.
Resposta
Injetora: não
Sobrejetora: sim
Isomorfismo: não (logo não há T^{-1})