Questão 2: ( 3,0 pontos) Em cada item abaixo, verifique se a transformação linear T dada é injetora, sobrejetora e isomorfismo. Se T for um isomorfismo, determine T^{-1}.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y, z)=(x-3 y+5 z,-x+4 y-z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z)=(x-3y+5z,\,-x+4y-z)
e pede para verificar se ela é injetora (kernel trivial), sobrejetora (imagem igual a \mathbb{R}^2) e isomorfismo (bijetora). Para isso usaremos sua representação matricial, o Teorema da Dimensão (posto + nulidade) e, se necessário, resolveremos o sistema associado.

Passo 2

Escrevemos T em coordenadas padrão como
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 5\\\\ -1 & 4 & -1 \end{pmatrix},
de modo que T(x,y,z)=A\,(x,y,z)^T.
Definições chave:
T é injetora se e somente se \ker T=\{0\}.
T é sobrejetora se e somente se \operatorname{rank}(A)=\dim(\mathbb{R}^2)=2.
– Pelo Teorema da Dimensão, \dim(\ker T)+\operatorname{rank}(A)=3.

Passo 3

Vamos calcular \ker T\) resolvendo \[\begin{cases} x-3y+5z=0,\\\\ -x+4y-z=0. \end{cases}
Somando as duas equações:
(x-3y+5z)+(-x+4y-z)=y+4z=0\implies y=-4z.
Substituindo em x-3y+5z=0\]: \[x-3(-4z)+5z=0\implies x+12z+5z=0\implies x=-17z.\] Logo \[\ker T=\{(-17z,\,-4z,\;z)\mid z\in\mathbb{R}\} =\operatorname{span}\{(-17,-4,1)\},\] que é de dimensão 1. Portanto \(\ker T\neq\{0\} e T não é injetora.

Passo 4

Como \dim(\ker T)=1, pelo Teorema da Dimensão
\operatorname{rank}(A)=3-1=2.
Como o posto de A é 2, que é exatamente \dim(\mathbb{R}^2), concluímos que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2. Assim, T é sobrejetora.

Passo 5

T não é injetora (kernel de dimensão 1) e é sobrejetora (posto 2). Logo não é bijetora e, portanto, não é um isomorfismo. Não existe T^{-1} definido em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

Injetora: não
Sobrejetora: sim
Isomorfismo: não (logo não há T^{-1})

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