Questão 3. [2 pts.] Prove que qualquer ponto do gráfico da função f(x)=b \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}} está contido na elipse de equação \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}
e pede para mostrar que todo ponto (x,f(x)) satisfaz a equação da elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
O que vamos fazer é tomar y=f(x), substituir na equação da elipse e verificar que o resultado é 1.

Passo 2

Consideremos um ponto genérico do gráfico:
(x,y)=\Bigl(x,\;b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}\Bigr),
onde a raiz está bem definida para -a\le x\le a.

Passo 3

Substituindo y = b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}} na equação da elipse, temos
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} =\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}\bigl(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\bigr)}{b^{2}} =\frac{x^{2}}{a^{2}}+1-\frac{x^{2}}{a^{2}} =1.

Resposta

Como em qualquer ponto do gráfico de f a soma \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} vale exatamente 1, concluímos que todo ponto (x,f(x)) está contido na elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.)

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