Questão 1: ( 9 pts) Faça o que se pede:
(4 pts) Determine se os vetores V_{1}=(2,-1,-2), V_{2}=(-1,0,2), e V_{3}=(2,3,4) de \mathbb{R}^{3} são linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em \mathbb{R}^3:
V_{1} = (2,-1,-2),\quad V_{2}=(-1,0,2),\quad V_{3}=(2,3,4)
e pede para determinar se eles são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.).
O conteúdo que vamos usar é o teste do determinante: se a matriz cujas colunas são esses vetores tiver determinante não nulo, então eles são L.I.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são V_{1},V_{2},V_{3}:
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 3 \\\\ -2 & 2 & 4 \end{pmatrix}
e vamos calcular \det A usando expansão pela primeira linha.

Passo 3

Calculemos os menores 2\times2:
M_{11} = \det\begin{pmatrix}0 & 3\\\ 2 & 4\end{pmatrix} = 0\cdot4 - 3\cdot2 = -6,
M_{12} = \det\begin{pmatrix}-1 & 3\\\ -2 & 4\end{pmatrix} = -1\cdot4 - 3\cdot(-2) = -4 +6 = 2,
M_{13} = \det\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ -2 & 2\end{pmatrix} = -1\cdot2 - 0\cdot(-2) = -2.

Passo 4

Agora a expansão pelo elemento a_{1j} da primeira linha dá:
\det A = 2\cdot M_{11} \;-\;(-1)\cdot M_{12} \;+\;2\cdot M_{13} = 2\cdot(-6) + 1\cdot2 + 2\cdot(-2) = -12 + 2 - 4 = -14.

Passo 5

Como \det A = -14 \neq 0, a única solução da combinação linear
c_{1}V_{1} + c_{2}V_{2} + c_{3}V_{3} = 0
é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Logo, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores V_{1},V_{2},V_{3} são linearmente independentes.

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