Verifique quais matrizes são diagonalizáveis, determinando os autovalores( as raízes do polinômio, característico \left.p_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)\right) e os autovetores associados ([A-\lambda I] v=0)
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
é diagonalizável. Para isso, vamos (1) obter o polinômio característico \det(A-\lambda I), (2) encontrar as raízes \lambda_i (autovalores) e (3) determinar, para cada \lambda_i, o espaço nulo de A-\lambda_i I (autovetores). Se conseguirmos três autovetores linearmente independentes, A é diagonalizável.

Passo 2

Como A é triangular superior, seu polinômio característico é
p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(-1-\lambda)(2-\lambda).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = -1,\quad \lambda_3 = 2,
todos de multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Autovetores para \lambda_1=1\): Formamos \[A - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 0 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e resolvemos (A-I)v=0 com v=(x,y,z)^T. As equações são
\begin{cases} 2y+3z = 0,\\\\ -2y+2z = 0,\\\ z=0. \end{cases}
De z=0\] vem \(y=0, e x fica livre. Tomando x=1, um autovetor é
v_1 = (1,0,0)^T.

Passo 4

Autovetores para \lambda_2=-1\): \[A + I = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},
e as equações de (A+I)v=0 dão
\begin{cases} 2x+2y+3z=0,\\\\ 2z=0,\\\\ 3z=0. \end{cases}
De z=0\] segue \(x+y=0. Tomando x=1, y=-1, obtemos
v_2 = (1,-1,0)^T.

Passo 5

Autovetores para \lambda_3=2\): \[A-2I = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3\\\\ 0 & -3 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Do sistema (A-2I)v=0 com v=(x,y,z)^T temos
\begin{cases} -\,x + 2y + 3z = 0,\\\\ -\,3y + 2z = 0, \end{cases}
da segunda equação y=\tfrac{2}{3}z\]. Substituindo na primeira, \[x = 2y + 3z = \tfrac{4}{3}z + 3z = \tfrac{13}{3}z.\] Tomando \(z=3 para evitar frações, escolhemos
v_3 = (13,2,3)^T.

Passo 6

Obtivemos três autovalores distintos e três autovetores v_1,v_2,v_3 claramente independentes. Portanto, a matriz A é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores e um conjunto de autovetores de A são: \lambda_1=1 com v_1=(1,0,0)^T \lambda_2=-1 com v_2=(1,-1,0)^T \lambda_3=2 com v_3=(13,2,3)^T
Logo, A é diagonalizável.

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