Questão 21: Um objeto percorre uma elipse b^2 x^2+a^2 y^2=a^2 b^2, no sentido anti-horário, sob a ação da força pi a b, Ache o trabalho realizado.
resp:

Passo 1

A questão apresenta um objeto que percorre, no sentido anti-horário, a elipse definida por b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 sob a ação da força vec F(x,y) = l(2x - tfrac y2,, tfrac x2 + 3yr). O conteúdo central é cálculo de trabalho como integral de linha fechada e vamos usar o Teorema de Green para transformá-la numa integral dupla sobre a região interna à elipse.

Passo 2

Para aplicar o Teorema de Green, lembramos que, para uma curva simples fechada C positivamente orientada e vec F = (P, Q), temos
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) ,dA
onde D é a região interna a C.

Passo 3

Aqui identificamos P(x,y) = 2x - tfrac y2 e Q(x,y) = tfrac x2 + 3y. Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 12, partial Ppartial y = -12
Logo o rotacional escalar é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 12 - l(-tfrac12r) = 1

Passo 4

Como o integrando é constante igual a 1, a integral dupla sobre D é simplesmente a área da elipse b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2, que vale pi a b. Portanto, o trabalho realizado é essa área.

Resposta

pi a b

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