Questão 21: Um objeto percorre uma elipse
, no sentido anti-horário, sob a ação da força
, Ache o trabalho realizado.
resp:
resp:
Passo 1
A questão apresenta um objeto que percorre, no sentido anti-horário, a elipse definida por
sob a ação da força
. O conteúdo central é cálculo de trabalho como integral de linha fechada e vamos usar o Teorema de Green para transformá-la numa integral dupla sobre a região interna à elipse.
Passo 2
Para aplicar o Teorema de Green, lembramos que, para uma curva simples fechada
positivamente orientada e
, temos
onde
é a região interna a
.
Passo 3
Aqui identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Logo o rotacional escalar é
Passo 4
Como o integrando é constante igual a 1, a integral dupla sobre
é simplesmente a área da elipse
, que vale
. Portanto, o trabalho realizado é essa área.