Questão 20. Calcule as concentrações de \mathrm{H}^{+}e de \mathrm{OH}^{-}e o pH das seguintes soluções de ácidos e bases fortes a 25^{\circ} \mathrm{C} :
\[K_{w}\]=\left[\mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}\right]\left[\mathrm{OH}^{-}\right]=10^{-14}
f) \mathrm{KOH} 8,4 \cdot 10^{-3} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} \cdot

Passo 1

O enunciado pede que calculemos as concentrações de \mathrm{H}^{+} e de \mathrm{OH}^{-} e o pH de uma solução de base forte. Dados relevantes que o enunciado fornece:
\begin{aligned} &\text{Base: } \mathrm{KOH} \\\ &\text{Concentração inicial: } \; \left[\mathrm{KOH}\right]=8{,}4\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} \\\ &\text{Constante do produto iônico da água (a }25^\circ\mathrm{C}\text{): } \; K_w=\left[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\right]\left[\mathrm{OH}^{-}\right]=10^{-14}. \end{aligned}çãôá
Perguntas que vamos responder: calcular \left[\mathrm{H}^{+}\right], \left[\mathrm{OH}^{-}\right] e o pH da solução.

Passo 2

Entendendo o que acontece quimicamente (coisa simples, prometo): \mathrm{KOH} é uma base forte e se dissocia totalmente em solução aquosa:
\mathrm{KOH}\longrightarrow \mathrm{K}^{+} + \mathrm{OH}^{-}.
Como a dissociação é completa, a concentração de \mathrm{OH}^{-} na solução é igual à concentração inicial de \mathrm{KOH}. Logo,
\left[\mathrm{OH}^{-}\right]=8{,}4\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Isso é direto e importante: base forte → dissolve-se totalmente → \left[\mathrm{OH}^{-}\right] = concentração fornecida.

Passo 3

Agora usamos a relação entre \left[\mathrm{H}^{+}\right] e \left[\mathrm{OH}^{-}\right] dada por K_w. A fórmula é:
K_w=\left[\mathrm{H}^{+}\right]\left[\mathrm{OH}^{-}\right].
Isolando \left[\mathrm{H}^{+}\right], temos:
\left[\mathrm{H}^{+}\right]=\frac{K_w}{\left[\mathrm{OH}^{-}\right]}.
Substituindo os valores:
\left[\mathrm{H}^{+}\right]=\frac{10^{-14}}{8{,}4\cdot 10^{-3}}.
Agora faça a conta com potências de 10 separadas:
\frac{10^{-14}}{8{,}4\cdot 10^{-3}}=\frac{1}{8{,}4}\cdot 10^{-14-(-3)}=\frac{1}{8{,}4}\cdot 10^{-11}.
Calculando \dfrac{1}{8{,}4}: \dfrac{1}{8{,}4}\approx 0{,}1190476. Portanto
\left[\mathrm{H}^{+}\right]\approx 1{,}190476\cdot 10^{-12}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas significativas) fica
\left[\mathrm{H}^{+}\right]\approx 1{,}19\cdot 10^{-12}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 4

Agora vamos ao pH. Definição de pH:
\mathrm{pH}=-\log_{10}\left(\left[\mathrm{H}^{+}\right]\right).
Outra forma prática, usando pOH, é:
\mathrm{pOH}=-\log_{10}\left(\left[\mathrm{OH}^{-}\right]\right)\quad\text{e}\quad \mathrm{pH}+\mathrm{pOH}=14 \\ (\text{a }25^\circ\mathrm{C}).
Vou usar a segunda forma porque é bem direta quando temos \left[\mathrm{OH}^{-}\right].

Passo 5

Calculemos \mathrm{pOH}:
\mathrm{pOH}=-\log_{10}\left(8{,}4\cdot 10^{-3}\right).
Usando propriedades de logaritmo:
\mathrm{pOH}=-\left(\log_{10}(8{,}4)+\log_{10}\left(10^{-3}\right)\right)=-\log_{10}(8{,}4)+3.
Precisamos de \log_{10}(8{,}4). Podemos decompor:
\log_{10}(8{,}4)=\log_{10}(7)+\log_{10}(12)-1,
porque 8{,}4=84\cdot 10^{-1}=7\cdot 12\cdot 10^{-1}. Usando valores comuns de logaritmos (tabelas ou memória rápida):
\log_{10}(7)\approx 0{,}84510,\qquad \log_{10}(3)\approx 0{,}47712,\qquad \log_{10}(4)\approx 0{,}60206.
Como \log_{10}(12)=\log_{10}(3)+\log_{10}(4), temos
\log_{10}(12)\approx 0{,}47712+0{,}60206=1{,}07918.
Então
\log_{10}(8{,}4)\approx 0{,}84510+1{,}07918-1=0{,}92428.
Logo
\mathrm{pOH}=3-0{,}92428=2{,}07572.
Finalmente:
\mathrm{pH}=14-\mathrm{pOH}=14-2{,}07572=11{,}92428.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais) dá \mathrm{pH}\approx 11{,}92.

Passo 6

Resumindo com um pouco de empolgação: a base forte nos deu \left[\mathrm{OH}^{-}\right] imediatamente, daí usamos K_w para achar \left[\mathrm{H}^{+}\right] e as definições de pOH/pH para o pH. Esses são os valores finais aproximados (com três algarismos significativos onde faz sentido).

Resposta

\left[\mathrm{H}^{+}\right]=1{,}19\cdot 10^{-12}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
\left[\mathrm{OH}^{-}\right]=8{,}4\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
\mathrm{pH}=11{,}92

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