Questão 20: A mola de uma espingarda de mola tem uma constante de 1 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}. Quando a espingarda faz um ângulo de 30^{\circ} para cima em relação à horizontal, uma bola de 50 g é disparada e atinge uma altura de 2 m acima do cano da espingarda.
(a) Qual a velocidade da bala ao deixar o cano? (b) De quanto a mola estava comprimida no momento do disparo?

Passo 1

O enunciado fala de uma espingarda de mola com constante elástica k=1\\ \mathrm{N/cm}=100\\ \mathrm{N/m} que lança uma bala de massa m=0,05\\ \mathrm{kg} formando um ângulo de 30^\circ acima da horizontal. A bala atinge altura máxima \Delta y=2\\ \mathrm{m} acima do cano. Vamos usar dois blocos principais: (i) cinemática vertical de projétil para achar a velocidade de saída v_0 e (ii) conservação de energia (mola → bala) para achar a compressão x da mola.

Passo 2

No movimento vertical, a componente inicial da velocidade é
v_{0y}=v_0\sin(30^\circ)\,.
No ponto de altura máxima \Delta y tem-se v_y=0 e a equação de Torricelli:
0 = (v_0\sin 30^\circ)^2 - 2\,g\,\Delta y.

Passo 3

Isolando v_0:
(v_0\sin 30^\circ)^2 = 2\,g\,\Delta y \quad\Longrightarrow\quad v_0^2 = \frac{2\,g\,\Delta y}{\sin^2 30^\circ} = \frac{2\cdot 9{,}8 \cdot 2}{(1/2)^2} =16\cdot 9{,}8
v_0 = \sqrt{16\cdot 9{,}8}\approx 12{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Na saída do cano, desprezando perdas, a energia potencial elástica armazenada na mola vira energia cinética da bala:
\tfrac12\,k\,x^2 = \tfrac12\,m\,v_0^2.

Passo 5

Isolando x:
x = v_0\sqrt{\frac{m}{k}} =12{,}5\sqrt{\frac{0,05}{100}} =12{,}5\sqrt{0{,}0005} \approx 0{,}28\\ \mathrm{m} =28\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) v_0\approx12{,}5\\ \mathrm{m/s}.
(b) x\approx28\\ \mathrm{cm}.

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