Questão 34: Uma escada rolante é usada para ligar dois andares. Um andar está 8,0 m acima do outro; a escada tem 12 m de comprimento e se move ao longo do seu comprimento com uma velocidade de 60 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. (a) Qual deve ser a potência do motor da escada para que ela transporte 100 pessoas por minuto, supondo que a massa média das pessoas é 75 kg ? (b) Um homem de 80 kg sobe a escada em 10 s . Qual o trabalho executado pela escada sobre o homem? (c) Se o homem desse meia volta no meio do caminho e começasse a descer os degraus, mantendo-se sempre na mesma altura, a escada continuaria a realizar trabalho sobre ele? Se a resposta é sim, qual é a potência requerida para isto? (d) Existe alguma ( outra?) forma de o homem usar a escada sem que a escada realize trabalho sobre ele?

Passo 1

O enunciado descreve uma escada rolante inclinada de comprimento 12 m que liga dois andares com diferença de altura \Delta h=8{,}0 m. A escada move-se ao longo do seu comprimento com velocidade v_{\mathrm{esc}}=60 cm/s =0{,}6 m/s. Em (a) queremos a potência requerida para transportar 100 pessoas por minuto, cada uma de massa média m=75 kg; em (b) calculamos o trabalho que a escada faz sobre um homem de 80 kg que sobe em 10 s; em (c) vemos o caso de descida mantendo a mesma altura; em (d) buscamos se existe outra forma de ele usar a escada sem que ela faça trabalho sobre ele. Os conceitos usados são
• Trabalho gravitacional \displaystyle W=m\,g\,\Delta h
• Potência média \displaystyle P=\frac{W}{t}

Passo 2

Como a escada corre ao longo de 12 m e eleva 8{,}0 m, a componente vertical da velocidade é
v_{\text{vert}}=v_{\mathrm{esc}}\frac{\Delta h}{L} =0{,}6\cdot\frac{8{,}0}{12}=0{,}4\\ \text{m/s}.

Passo 3

(a) Cada pessoa ganha energia potencial
W_{\rm p} = m\,g\,\Delta h =75\cdot9{,}8\cdot8{,}0=5880\\ \text{J}.
Em 1 minuto são 100 pessoas, ou 100/60\approx1{,}67 pessoas/s. Logo a potência requerida é
P = \frac{100\cdot5880}{60} =490\\ \text{W}\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

(b) Um homem de massa 80 kg é transportado da base ao topo ( \Delta h=8{,}0 m). O trabalho que a escada faz sobre ele é
W = m\,g\,\Delta h =80\cdot9{,}8\cdot8{,}0=6272\\ \text{J}.

Passo 5

(c) Se o homem dá meia volta no meio do comprimento e desce mantendo-se sempre à mesma altura, não há variação de energia potencial \Delta h=0, mas a escada continua a empurrá-lo para cima com potência
P = m\,g\,v_{\text{vert}} =80\cdot9{,}8\cdot0{,}4=314\\ \text{W}.

Passo 6

(d) Não existe outra forma de usar a escada rolante de modo que ela não realize trabalho sobre o homem, pois enquanto houver contato estático e deslocamento do degrau sob o pé, haverá força aplicada no homem com deslocamento, gerando trabalho.

Resposta

(a) 490\\ \text{W}
(b) 6{,}27\times10^3\\ \text{J}
(c) Sim; 314\\ \text{W}
(d) Não há outra forma de uso em contato com a escada que anule esse trabalho.

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