QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine a derivada da função g(x) com relação à x. Justifique sua resposta.
g(x)=x^{2}+\frac{e^{x}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada de g em relação a x. A função dada é
g(x)=x^{2}+\frac{e^{x}}{x^{2}}.
Informações relevantes que temos: a função é composta por uma soma de duas parcelas — uma potência simples x^{2} e uma fração \dfrac{e^{x}}{x^{2}}. Note que a expressão contém divisão por x^{2}, então o domínio natural da função (e, portanto, o domínio onde a derivada faz sentido) exclui x=0; isto é, consideramos x\neq 0.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a segunda parcela de forma que fique mais fácil aplicar regras de derivação. A fração pode ser escrita como produto usando potências:
\frac{e^{x}}{x^{2}} = e^{x}\,x^{-2}.
Essa reescrita é útil porque podemos aplicar a regra do produto entre e^{x} e x^{-2}, e a regra da potência para x^{-2}.

Passo 3

Vou lembrar as regras que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • Regra da potência: para uma constante n, a derivada de x^{n} em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente (constante). Exemplo rápido: aplicando com n=2 obtemos \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x; com n=-2 obtemos \dfrac{d}{dx}(x^{-2})=-2x^{-3}.
  • Derivada da exponencial: para a função e^{x},
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.
Ou seja, e^{x} deriva em si mesma.
  • Regra do produto: se f(x) e h(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)h(x)\bigr)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x).
Isso significa que a derivada do produto é a soma do produto da derivada da primeira pela segunda com o produto da primeira pela derivada da segunda.

Passo 4

Derivamos a primeira parcela \,x^{2}\, usando a regra da potência com n=2:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Mostrei antes porque isso é direto: n=2\Rightarrow 2x^{1}=2x.

Passo 5

Agora derivamos a segunda parcela escrita como produto: e^{x}\,x^{-2}.
Identificamos f(x)=e^{x} e h(x)=x^{-2}.
  • Calculamos f'(x)=\dfrac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}.
  • Calculamos h'(x)=\dfrac{d}{dx}(x^{-2})=-2x^{-3} (aqui usamos a regra da potência com n=-2).
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}x^{-2}\bigr)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x) = e^{x}x^{-2} + e^{x}(-2x^{-3}).

Passo 6

Simplificamos a expressão obtida para a derivada da segunda parcela. Da linha anterior:
e^{x}x^{-2} + e^{x}(-2x^{-3}) = e^{x}x^{-2} - 2e^{x}x^{-3}.
Fatorando e^{x}x^{-3} (fator comum) fica mais compacto:
e^{x}x^{-2} - 2e^{x}x^{-3} = e^{x}x^{-3}\bigl(x-2\bigr).
Também podemos escrever isso como uma fração:
\frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}}.

Passo 7

Agora juntamos a derivada da primeira parcela com a derivada da segunda parcela para obter a derivada total g'(x). Da Passo 4 temos 2x e da Passo 6 temos \dfrac{e^{x}(x-2)}{x^{3}}. Assim:
g'(x)=2x+\frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}},\qquad x\neq 0.
Se quisermos escrever tudo em um único quociente, multiplicamos 2x por \dfrac{x^{3}}{x^{3}} e obtemos
g'(x)=\frac{2x^{4}+e^{x}(x-2)}{x^{3}},\qquad x\neq 0.

Resposta

\displaystyle g'(x)=2x+\frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}}

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