QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine a derivada da função
com relação à
. Justifique sua resposta.
Determine a derivada da função
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada de
em relação a
. A função dada é
Informações relevantes que temos: a função é composta por uma soma de duas parcelas — uma potência simples
e uma fração
. Note que a expressão contém divisão por
, então o domínio natural da função (e, portanto, o domínio onde a derivada faz sentido) exclui
; isto é, consideramos
.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a segunda parcela de forma que fique mais fácil aplicar regras de derivação. A fração pode ser escrita como produto usando potências:
Essa reescrita é útil porque podemos aplicar a regra do produto entre
e
, e a regra da potência para
.
Passo 3
Vou lembrar as regras que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
- Regra da potência: para uma constante
, a derivada de em relação a é
Aqui
é a variável e
é o expoente (constante). Exemplo rápido: aplicando com
obtemos
; com
obtemos
.
- Derivada da exponencial: para a função
,
Ou seja,
deriva em si mesma.
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Isso significa que a derivada do produto é a soma do produto da derivada da primeira pela segunda com o produto da primeira pela derivada da segunda.
Passo 4
Derivamos a primeira parcela
usando a regra da potência com
:
Mostrei antes porque isso é direto:
.
Passo 5
Agora derivamos a segunda parcela escrita como produto:
.
Identificamos e
.
Identificamos
- Calculamos
. - Calculamos
(aqui usamos a regra da potência com ).
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Simplificamos a expressão obtida para a derivada da segunda parcela. Da linha anterior:
Fatorando
(fator comum) fica mais compacto:
Também podemos escrever isso como uma fração:
Passo 7
Agora juntamos a derivada da primeira parcela com a derivada da segunda parcela para obter a derivada total
. Da Passo 4 temos
e da Passo 6 temos
. Assim:
Se quisermos escrever tudo em um único quociente, multiplicamos
por
e obtemos