1^{a} Questão: [25 pontos] Considere o sistema linear:
\begin{aligned} 4 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =5 \\\\ -x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3} & =-8 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3} & =-11 \end{aligned}
Verifique se o critério de SASSENFELD é satisfeito. Se sim, resolva o sistema pelo método de Gauss-Seidel com 4 iterações.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 4x_{1}+x_{2}-x_{3}=5,\\\\ -\,x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=-8,\\\\ 2x_{1}+3x_{2}+5x_{3}=-11, \end{cases}
pede para verificar o critério de Sassenfeld (que garante convergência do método de Gauss–Seidel) e, se satisfeito, executar quatro iterações de Gauss–Seidel a partir de x^{(0)}=(0,0,0).

Passo 2

O critério de Sassenfeld define coeficientes \beta_{i} por
\beta_{1}=\frac{|a_{12}|\cdot0+|a_{13}|\cdot0}{|a_{11}|},\quad \beta_{2}=\frac{|a_{21}|\beta_{1}+|a_{23}|\cdot0}{|a_{22}|},\quad \beta_{3}=\frac{|a_{31}|\beta_{1}+|a_{32}|\beta_{2}}{|a_{33}|}.
Aqui a_{11}=4, a_{12}=1, a_{13}=-1, a_{21}=-1, a_{22}=3, a_{23}=2, a_{31}=2, a_{32}=3, a_{33}=5.

Passo 3

Calculando:
\beta_{1}=\frac{1\cdot0+1\cdot0}{4}=0,\quad \beta_{2}=\frac{1\cdot0+2\cdot0}{3}=0,\quad \beta_{3}=\frac{2\cdot0+3\cdot0}{5}=0.
Como \max\{\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}\}=0<1, o critério é satisfeito e o método de Gauss–Seidel converge.

Passo 4

Reescrevemos cada variável isolando-a:
x_{1}=\frac{5 - x_{2} + x_{3}}{4},\quad x_{2}=\frac{-8 + x_{1} - 2x_{3}}{3},\quad x_{3}=\frac{-11 - 2x_{1} - 3x_{2}}{5}.
No método de Gauss–Seidel usamos os valores mais recentes conforme avançamos em cada iteração k\to k+1.

Passo 5

Tomando x^{(0)}=(0,0,0), obtemos para k=0\to1:
x_{1}^{(1)}=\frac{5-0+0}{4}=1,25,\quad x_{2}^{(1)}=\frac{-8+1,25-0}{3}=-2,25,\quad x_{3}^{(1)}=\frac{-11-2\cdot1,25-3\cdot(-2,25)}{5}=-1,35.
Para k=1\to2:
x_{1}^{(2)}=\frac{5-(-2,25)+(-1,35)}{4}=1,475,\quad x_{2}^{(2)}=\frac{-8+1,475-2\cdot(-1,35)}{3}=-1,275,\quad x_{3}^{(2)}=\frac{-11-2\cdot1,475-3\cdot(-1,275)}{5}=-2,025.
Para k=2\to3:
x_{1}^{(3)}=\frac{5-(-1,275)+(-2,025)}{4}=1,0625,\quad x_{2}^{(3)}=\frac{-8+1,0625-2\cdot(-2,025)}{3}=-0,9625,\quad x_{3}^{(3)}=\frac{-11-2\cdot1,0625-3\cdot(-0,9625)}{5}=-2,0475.
Para k=3\to4:
x_{1}^{(4)}=\frac{5-(-0,9625)+(-2,0475)}{4}=0,97875,\quad x_{2}^{(4)}=\frac{-8+0,97875-2\cdot(-2,0475)}{3}=-0,97542,\quad x_{3}^{(4)}=\frac{-11-2\cdot0,97875-3\cdot(-0,97542)}{5}=-2,00625.

Resposta

Após quatro iterações de Gauss–Seidel,
x^{(4)}\approx \bigl(0,97875,\,-\,0,97542,\,-\,2,00625\bigr).

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