Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
\int_{-1}^{2}\left(4 x^{2}+x+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\displaystyle \int_{-1}^{2}\bigl(4x^2 + x + 2\bigr)\,dx
usando a definição de integral (Teorema 4), ou seja, como limite de somas de Riemann. Vamos partir do conceito de partição do intervalo, escolher pontos de amostragem, montar a soma de Riemann S_n e, por fim, calcular \lim_{n\to\infty}S_n.

Passo 2

Particionamos o intervalo [-1,2] em n subintervalos iguais de largura
\Delta x = \frac{2 - (-1)}{n} = \frac{3}{n}.
Como amostragem, usamos o extremo direito de cada subintervalo, isto é,
x_i = -1 + i\,\Delta x = -1 + \frac{3i}{n},\quad i = 1,2,\dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann com esses pontos é
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\bigl(4x_i^2 + x_i + 2\bigr)\,\frac{3}{n}.

Passo 4

Precisamos das somas \sum x_i e \sum x_i^2.
Como x_i = -1 + \tfrac{3i}{n}, tem-se
\sum_{i=1}^{n} x_i = \sum_{i=1}^{n}\Bigl(-1 + \frac{3i}{n}\Bigr) = -n + \frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}i = -n + \frac{3}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+3}{2},
e
\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \sum_{i=1}^{n}\Bigl(-1 + \frac{3i}{n}\Bigr)^{2} = \sum_{i=1}^{n}\Bigl(1 - \frac{6i}{n} + \frac{9i^2}{n^2}\Bigr) = n - \frac{6}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2} + \frac{9}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},
que, ao simplificar, fica
\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = -2n - 3 + \frac{3\,(n+1)\,(2n+1)}{2n}.

Passo 5

Substituindo em S_n:
S_n = \frac{3}{n}\Bigl[ 4\sum_{i=1}^{n}x_i^2 + \sum_{i=1}^{n}x_i + 2n \Bigr] = \frac{3}{n}\Bigl[ 4\Bigl(-2n - 3 + \frac{3(n+1)(2n+1)}{2n}\Bigr) + \frac{n+3}{2} + 2n \Bigr].
Fazendo as operações e reunindo em um único quociente, obtém-se
S_n = \frac{39\,n^2 + 45\,n + 36}{2\,n^2}.

Passo 6

Para concluir, tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{39\,n^2 + 45\,n + 36}{2\,n^2} = \frac{39}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{39}{2}

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