Questão: (20 pontos)
(a) Calcule
onde
.
(b) Calcule, se existir, o limite
(b) Calcule, se existir, o limite
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
para
e depois estudar o limite
O conteúdo principal aqui é decompor a função em frações parciais e usar que
.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais de
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes em
e termos constantes vem
logo
. Assim
Passo 3
Agora integramos de
a
:
Passo 4
Avaliaremos a expressão em
e em
:
Usando soma de logaritmos,
Passo 5
Para achar o limite quando
, note que
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Resposta
(a)
(b)
(b)