Questão: (20 pontos)

(a) Calcule
A(M)=\int_{1}^{M} \frac{1}{x^{2}+x} d x
onde M>1.
(b) Calcule, se existir, o limite
A(\infty)=\lim _{M \rightarrow \infty} A(M) .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
A(M)=\int_{1}^{M}\frac{1}{x^{2}+x}\,dx
para M>1 e depois estudar o limite
A(\infty)=\lim_{M\to\infty}A(M).
O conteúdo principal aqui é decompor a função em frações parciais e usar que
\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de
\displaystyle \frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{x(x+1)}\). Queremos constantes \(A\) e \(B\) tais que \[\frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x+1) obtemos
1 = A(x+1)+B\,x = (A+B)x + A.
Comparando coeficientes em x e termos constantes vem
\begin{cases} A + B = 0,\\\ A = 1, \end{cases}
logo A=1\] e \(B=-1. Assim
\frac{1}{x^{2}+x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}.

Passo 3

Agora integramos de 1 a M:
A(M) = \int_{1}^{M}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx = \Bigl[\ln|x| - \ln|x+1|\Bigr]_{1}^{M}.

Passo 4

Avaliaremos a expressão em x=M e em x=1:
\Bigl(\ln M - \ln(M+1)\Bigr) - \Bigl(\ln 1 - \ln 2\Bigr) = \ln\frac{M}{M+1} - \bigl(0 - \ln 2\bigr) = \ln\frac{M}{M+1} + \ln 2.
Usando soma de logaritmos,
A(M) = \ln\!\Bigl(2\cdot\frac{M}{M+1}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{2M}{M+1}\Bigr).

Passo 5

Para achar o limite quando M\to\infty, note que
\frac{2M}{M+1} = 2 \cdot \frac{M}{M+1} \longrightarrow 2\cdot 1 = 2.
Logo
A(\infty) = \lim_{M\to\infty}\ln\!\Bigl(\tfrac{2M}{M+1}\Bigr) = \ln 2.

Resposta

(a) \displaystyle A(M)=\ln\!\bigl(\tfrac{2M}{M+1}\bigr).
(b) \displaystyle A(\infty)=\ln 2.

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