2^{\text {a }} Questāo: (40 pontos) Calcule a derivada de f, onde:
f(x)=\frac{1}{x}+e^{x^{2}}+x^{e^{2}}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a derivada da função
f(x)=\frac{1}{x}+e^{x^{2}}+x^{e^{2}}.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas de soma de funções. Vamos usar a regra da soma (a derivada da soma é a soma das derivadas) e, para cada termo, aplicar a regra do quociente ou potência, a regra da cadeia e a regra da função potência com expoente constante.

Passo 2

Derivada de \frac{1}{x}. Podemos ver \frac{1}{x}=x^{-1}. Pela regra da potência,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}.
Ou seja,
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Derivada de e^{x^{2}}. Aqui usamos a regra da cadeia: se g(x)=x^{2}, então
\frac{d}{dx}\bigl(e^{g(x)}\bigr)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Como g'(x)=2x, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}\bigr)=e^{x^{2}}\cdot 2x=2x\,e^{x^{2}}.

Passo 4

Derivada de x^{e^{2}}. Aqui o expoente e^{2} é constante. Pela regra da potência com expoente constante a,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{a}\bigr)=a\,x^{a-1}.
Substituindo a=e^{2}, vem
\frac{d}{dx}\bigl(x^{e^{2}}\bigr)=e^{2}\,x^{e^{2}-1}.

Passo 5

Somando as derivadas de cada termo, pela regra da soma, temos
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}+2x\,e^{x^{2}}+e^{2}\,x^{\,e^{2}-1}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}+2x\,e^{x^{2}}+e^{2}\,x^{\,e^{2}-1}.

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