Questāo:(20 pontos) Construa o gráfico da função
indicando os pontos críticos, os intervalos onde é crescente ou decrescente e os máximos ou mínimos locais.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico de
indicando os pontos críticos, os intervalos onde a função é crescente ou decrescente e os máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos:
- determinar o domínio e as assíntotas;
- calcular
; - achar os pontos críticos e estudar o sinal de
; - concluir os intervalos de monotonicidade e classificar extremos;
- usar essas informações para esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, o domínio de
é
. Há uma assíntota vertical em
porque o denominador zera ali. Para
,
logo
é uma assíntota horizontal. O único zero de
vem de
, ou seja
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada usando quociente:
Passo 4
Os pontos críticos vêm de
ou indefinição de
. Temos
e
é indefinida em
(mas
não está no domínio). Agora analisamos o sinal de
- Para
: e , logo . - Para
: e , logo . - Para
: e , logo .
Passo 5
Com o estudo de sinal de
, concluímos:
-
é decrescente em ; -
é crescente em ; -
é decrescente em .
Emhá mudança de crescente para decrescente, ou seja, um máximo local. O valor é
Passo 6
Para esboçar o gráfico, juntamos:
- domínio
; - assíntota vertical
(com dos dois lados); - assíntota horizontal
( quando e quando ); - zero em
; - máximo local em
; - decrescimento em
e , crescimento em .
Com isso, o gráfico tem a forma de duas “ramas” que vão de
em
até
caindo, depois sobem de
até o pico
, e então decrescem suavemente para
em
.
Resposta
Pontos críticos:
.
Intervalos de crescimento: .
Intervalos de decrescimento: e
.
Máximo local: .
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Máximo local: