{ }^{\text {a }} Questāo:(20 pontos) Construa o gráfico da função
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}
indicando os pontos críticos, os intervalos onde é crescente ou decrescente e os máximos ou mínimos locais.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico de
f(x)=\frac{x-1}{x^2}
indicando os pontos críticos, os intervalos onde a função é crescente ou decrescente e os máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos:
  1. determinar o domínio e as assíntotas;
  2. calcular f'(x);
  3. achar os pontos críticos e estudar o sinal de f'(x);
  4. concluir os intervalos de monotonicidade e classificar extremos;
  5. usar essas informações para esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, o domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{0\}. Há uma assíntota vertical em x=0 porque o denominador zera ali. Para x\to\pm\infty,
f(x)=\frac{x-1}{x^2}=\frac1x-\frac1{x^2}\longrightarrow0,
logo y=0 é uma assíntota horizontal. O único zero de f vem de x-1=0, ou seja x=1.

Passo 3

Vamos calcular a derivada usando quociente:
f(x)=\frac{x-1}{x^2} \;\Longrightarrow\; f'(x) =\frac{x^2\cdot1-(x-1)\cdot2x}{x^4} =\frac{x^2-2x^2+2x}{x^4} =\frac{-x^2+2x}{x^4} =\frac{2-x}{x^3}.

Passo 4

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou indefinição de f'. Temos
f'(x)=0\iff2-x=0\iff x=2,
e f' é indefinida em x=0 (mas x=0 não está no domínio). Agora analisamos o sinal de
f'(x)=\frac{2-x}{x^3}.
  • Para x<0: 2-x>0 e x^3<0, logo f'(x)<0.
  • Para 0<x<2: 2-x>0 e x^3>0, logo f'(x)>0.
  • Para x>2: 2-x<0 e x^3>0, logo f'(x)<0.

Passo 5

Com o estudo de sinal de f', concluímos:
  • f é decrescente em (-\infty,0);
  • f é crescente em (0,2);
  • f é decrescente em (2,\infty).
    Em x=2 há mudança de crescente para decrescente, ou seja, um máximo local. O valor é
f(2)=\frac{2-1}{2^2}=\frac1{4}.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, juntamos:
  • domínio \mathbb{R}\setminus\{0\};
  • assíntota vertical x=0 (com f\to-\infty dos dois lados);
  • assíntota horizontal y=0 ( f\to0^- quando x\to-\infty e f\to0^+ quando x\to+\infty);
  • zero em (1,0);
  • máximo local em \bigl(2,\tfrac14\bigr);
  • decrescimento em (-\infty,0) e (2,\infty), crescimento em (0,2).
Com isso, o gráfico tem a forma de duas “ramas” que vão de 0 em -\infty até (-\infty,0) caindo, depois sobem de (0,-\infty) até o pico \bigl(2,\tfrac14\bigr), e então decrescem suavemente para y=0^+ em +\infty.

Resposta

Pontos críticos: x=2.
Intervalos de crescimento: (0,2).
Intervalos de decrescimento: (-\infty,0) e (2,\infty).
Máximo local: f(2)=\tfrac14.

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