Questão 3: (20 pontos) Considere as bases beta=u1, u2, u3 e gamma=w1, w2, w3 de R^3, relacionadas da seguinte forma:
rlr w1=u1 & -2 u3 w2=u1 & -u3 w3=-u1+3 u2 &
(b) (10 pontos) Sabendo que
[u]beta=[c 1 3 -2 ]
determine as coordenadas do vetor u em relação à base gamma.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3, beta=u1,u2,u3 e gamma=w1,w2,w3, relacionadas por
w1 = u1 - 2,u3, w2 = u1 - u3, w3 = -u1 + 3,u2
Sabemos que, na base beta,
[u]beta = 1[4pt]3[4pt]-2,
ou seja, u = 1,u1 + 3,u2 -2,u3. Precisamos encontrar [u]gamma, isto é, os escalares c1,c2,c3 tais que
u = c1,w1 + c2,w2 + c3,w3 ]

Passo 2

Escrevendo u como combinação de wi e depois passando tudo para a base beta, temos
u = c1,(u1 - 2,u3) + c2,(u1 - u3) + c3,(-u1 + 3,u2)
Agrupando os coeficientes de u1,u2,u3,
u = (c1 + c2 - c3),u1 ;+;(3,c3),u2 ;+;(-2,c1 - c2),u3

Passo 3

Como também sabemos que
u = 1,u1 + 3,u2 - 2,u3,
basta igualar coeficientes de u1,u2,u3, o que gera o sistema
c1 + c2 - c3 = 1, 3,c3 = 3, -2,c1 - c2 = -2

Passo 4

Do segundo item segue
Somando duas vezes a primeira equação com a segunda:
e então de .

Resposta

[u]gamma = 0[4pt]2[4pt]1 ]

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