Questão 2: (26 pontos) Sejam
U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-2 y+z=0 e x-y-z=0 e W=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y+3 z=0
subespaços vetoriais de R^4.
(c) (6 pontos) Sabendo que dim W=3, encontre dim(U+W). Podemos dizer que U+W=R^4 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define os subespaços
U=(x,y,z,t)in R^4:x-2y+z=0,;x-y-z=0,
W=(x,y,z,t)in R^4:x+y+3z=0,
sabe-se que dim W=3 e pede-se dim(U+W) e se U+W= R^4. Vamos usar a fórmula
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)

Passo 2

Calculamos . São duas equações lineares independentes em , logo
Para achar uma base, resolvemos
Subtraindo a segunda da primeira obtemos , e então , com livre. Assim

Passo 3

Descrito pela equação , temos e livres. Logo

Passo 4

Para , tomamos um vetor genérico de , , e impomos a condição de :
Assim e livre, logo
com .

Passo 5

Aplicando a fórmula da dimensão da soma:
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W) =2+3-1=4
Como dim(U+W)=4=dim R^4, conclui-se que U+W= R^4.

Resposta

dim(U+W)=4. Sim, U+W= R^4.

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