Questão 3: (20 pontos) Considere as bases beta=u1, u2, u3 e gamma=w1, w2, w3 de R^3, relacionadas da seguinte forma:
rlr w1=u1 & -2 u3 w2=u1 & -u3 w3=-u1+3 u2 &
(a) (10 pontos) Determine as matrizes de mudança de base [I]gamma^beta e[I]beta^gamma.

Passo 1

O enunciado dá duas bases
Precisamos achar a matriz de mudança de coordenadas de , isto é , e a inversa, que leva de para , .

Passo 2

Cada coluna de [I]gamma^beta são as coordenadas de wj na base beta. Como
w1 = 1cdot u1 + 0cdot u2 + (-2),u3, w2 = 1cdot u1 + 0cdot u2 + (-1),u3, w3 = (-1),u1 + 3cdot u2 + 0cdot u3,
temos
[I]gamma^beta = 1 & 1 & -1 0 & 0 & 3 -2 & -1 & 0

Passo 3

Para achar [I]beta^gamma = l([I]gamma^betar)^-1, é mais simples escrever cada ui em função dos wj. Da primeira e segunda linhas:
w1 - w2 = (u1-2u3)-(u1-u3) = -u3 Longrightarrow u3 = w2 - w1
Em seguida
w2 = u1 - u3 Longrightarrow u1 = w2 + u3 = 2w2 - w1
Por fim da terceira linha
w3 = -u1 +3u2 Longrightarrow 3u2 = w3 + u1 Longrightarrow u2 = w3 + (2w2 - w1)3
Logo, em coordenadas na base gamma:
u1 = -1,w1 +2,w2 +0,w3, u2 = -tfrac13,w1 +tfrac23,w2 +tfrac13,w3, u3 = -1,w1 +1,w2 +0,w3
Dessas colunas formamos [I]beta^gamma.

Resposta

[I]gamma^beta = 1 & 1 & -1 0 & 0 & 3 -2 & -1 & 0 , [I]beta^gamma = -1 & -tfrac13 & -1 2 & tfrac23 & 1 0 & tfrac13 & 0

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