Questão 2: (26 pontos) Sejam
U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-2 y+z=0 e x-y-z=0 e W=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y+3 z=0
subespaços vetoriais de R^4.
(b) (10 pontos) Determine uma base de U cap W e encontre a dimensão de U cap W.

Passo 1

O enunciado define os subespaços
U=(x,y,z,t)inR^4 mid x-2y+z=0,;x-y-z=0
e
W=(x,y,z,t)inR^4 mid x+y+3z=0
e pede uma base de Ucap W e sua dimensão. Para isso vamos reunir todas as equações lineares que definem Ucap W e resolver o sistema, tratando t como parâmetro livre desde que não apareça nas equações.

Passo 2

Os vetores de
Como será parâmetro livre. Vamos resolver o sistema para .

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira temos
(x-2y+z)-(x-y-z)=0;Longrightarrow;-y+2z=0;Longrightarrow;y=2z
Substituindo y=2z na segunda equação x-y-z=0
x-2z-z=0;Longrightarrow;x=3z
Por fim, colocamos x=3z e y=2z na terceira equação x+y+3z=0:
3z+2z+3z=8z=0;Longrightarrow;z=0
Daí x=0 e y=0 também.

Passo 4

Como x=y=z=0, todo vetor em Ucap W tem forma (0,0,0,t) com tinR. Logo
Ucap W=,t,(0,0,0,1)mid tinR=span(0,0,0,1)

Resposta

Uma base de Ucap W é (0,0,0,1) e dim(Ucap W)=1.

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