4^a Questão: (20 pontos) Considere o sistema linear:
c x1-x2-2 x3=-9 3 x1-4 x2-2 x3=-17 -x1+3 x2+2 x3=13
Encontre a Fatoração L U da matriz A do sistema e resolva-o utilizando essa decomposição.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com matriz
A = 1 & -1 & -2 3 & -4 & -2 -1 & 3 & 2
e vetor
b = -9-1713,
e pede a fatoração A = LU sem pivotamento e a solução do sistema usando essa decomposição. Vamos usar eliminação de Gauss para obter L (triangular inferior com 1's na diagonal) e U (triangular superior), depois resolver Ly=b e Ux=y.

Passo 2

Eliminação na primeira coluna ( a11=1). Calculamos os multiplicadores
ell21 = a21a11 = 31=3, ell31 = a31a11 = -11=-1
Aplicando as operações
R2 >=ts R2 - 3R1, R3 >=ts R3 + R1,
obtemos para U as duas primeiras linhas atualizadas:
U = 1 & -1 & -2 0 & -1 & 4 0 & 2 & 0 ,
e os elementos de L fora da diagonal: ell21=3, ell31=-1.

Passo 3

Eliminação na segunda coluna ( u22=-1). Calculamos
ell32 = u32u22 = 2-1=-2,
e aplicamos
R3 >=ts R3 - (-2),R2 = R3 + 2R2,
ficando a terceira linha de U como
l[0;;0;;8r]

Passo 4

Reunindo os resultados, temos
L = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 -1 & -2 & 1 , U = 1 & -1 & -2 0 & -1 & 4 0 & 0 & 8

Passo 5

Resolvemos Ly=b por substituição direta:
y1 = b1 = -9, y2 = b2 - 3y1 = -17 - 3(-9) = 10, y3 = b3 -(-1)y1 -(-2)y2 = 13 - 9 + 20 = 24

Passo 6

Resolvemos Ux=y por retrosubstituição:
x3 = dfracy38 = dfrac248 = 3, x2 = dfracy2 - 4x3-1 = dfrac10 - 4cdot3-1 = 2, x1 = y1 -(-1)x2 -(-2)x3 = -9 + 2 + 6 = -1

Resposta

x1 = -1, x2 = 2, x3 = 3

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