Resolva explicitamente a equacão diforoncial abaixo:
y y^prime=x^2+(x y)^2.

Passo 1

Temos a equação diferencial y,y' = x^2 + (x,y)^2. Esse tipo de EDO é de variáveis separáveis, então a ideia é isolar y', separar as variáveis e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, dividimos ambos os lados por y para obter y' = x^2 + x^2y^2y = x^2(1 + y^2)y Em seguida escrevemos y' = dydx e reorganizamos para separar y de x: y1 + y^2,dy = x^2,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado: integral y1 + y^2,dy = integral x^2,dx

Passo 4

No lado esquerdo, a integral é No lado direito, temos[\int x^2,dx = \frac{x^3}{3} + C,
]onde é a constante de integração.

Passo 5

A partir de multiplicamos por 2 e exponenciamos: [1 + y^2 = e{2x3/3 + 2C} = C_1 e{2x3/3}.
]Por fim, isolamos : com constante de integração.

Passo 6

Essa é a solução geral explícita da equação diferencial.

Resposta

y(x) = \pm \sqrt{C e{\tfrac{2x3}{3}} - 1}

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