Resolva explicitamente a equacão diforoncial abaixo:
y^prime+-2 sen(x)cos (x) y=x^2 e^3 x sec ^2(x), 0<x<pi / 2

Passo 1

Temos uma equação diferencial de primeira ordem e linear no formato y′+p(x)y=q(x), com p(x)=−2 an x e q(x)=x²e^{3x},
sec²(x). O que precisamos: reconhecer que é linear e escolher o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante μ(x) é dado por μ(x)=e^{∫p(x),dx}. Como p(x)=−2 an x, fazemos

Passo 3

integral p(x),dx=integral(-2tan x),dx=-2integraltan x,dx=-2(-ln|cos x|)=2ln|cos x|

Passo 4

Logo

Passo 5

mu(x)=e^2ln|cos x|=cos^2x

Passo 6

Multiplicamos a equação original por μ(x)=\cos²x. O lado esquerdo vira derivada de produto:

Passo 7

cos^2x,y'+(-2tan x)cos^2x,y=ddx(ycos^2x)

Passo 8

O lado direito fica

Passo 9

cos^2xcdot x^2e^3xsec^2x=x^2e^3x

Passo 10

Então a equação passa a ser

Passo 11

ddx(ycos^2x)=x^2e^3x

Passo 12

Agora integramos ambos os lados em relação a x. Do lado direito precisamos de

Passo 13

integral x^2e^3x,dx

Passo 14

Usando integração por partes ou a fórmula integral x^ne^axdx=x^ne^axa- n aintegral x^n-1e^axdx, chegamos a

Passo 15

integral x^2e^3x,dx=e^3x3x^2-6x+29+C

Passo 16

Logo

Passo 17

ycos^2x=e^3x3x^2-6x+29+C

Passo 18

Por fim, isolando y:

Passo 19

y(x)=e^3x(3x^2-6x+2)9cos^2x+Csec^2x

Resposta

y(x)=e^3x(3x^2-6x+2)9cos^2x+Csec^2x

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