Resolva explicitamente a equacão diforoncial abaixo:
Passo 1
Temos uma equação diferencial de primeira ordem e linear no formato y′+p(x)y=q(x), com p(x)=−2 an x e q(x)=x²e^{3x},
sec²(x). O que precisamos: reconhecer que é linear e escolher o método do fator integrante.
sec²(x). O que precisamos: reconhecer que é linear e escolher o método do fator integrante.
Passo 2
O fator integrante μ(x) é dado por μ(x)=e^{∫p(x),dx}. Como p(x)=−2 an x, fazemos
Passo 3
Passo 4
Logo
Passo 5
Passo 6
Multiplicamos a equação original por μ(x)=\cos²x. O lado esquerdo vira derivada de produto:
Passo 7
Passo 8
O lado direito fica
Passo 9
Passo 10
Então a equação passa a ser
Passo 11
Passo 12
Agora integramos ambos os lados em relação a x. Do lado direito precisamos de
Passo 13
Passo 14
Usando integração por partes ou a fórmula
, chegamos a
Passo 15
Passo 16
Logo
Passo 17
Passo 18
Por fim, isolando y: