Sejam gamma1 e gamma2 curvas no espaço parametrizadas por
& gamma1: r1(t)=e^t i+2 sin (t+pi2) j+(t^2-2) k & gamma2: r2(lambda)=lambda i+2 j+(lambda^2-3) k
Determine o ponto onde gamma1 e gamma2 se interceptam.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ponto de interseção das curvas no espaço gamma1 e gamma2 dadas por vec r1(t)=e^t,vec i+2sinl(t+tfracpi2r),vec j+(t^2-2),vec k e vec r2(lambda)=lambda,vec i+2,vec j+(lambda^2-3),vec k. O conteúdo é curvas paramétricas em R^3 e vamos precisar igualar as componentes correspondentes para achar t e lambda.

Passo 2

Igualando a componente j: temos 2sinl(t+tfracpi2r)=2Logo sinl(t+tfracpi2r)=1, cujo conjunto de soluções é t+tfracpi2=tfracpi2+2pi k, ou seja t=2pi k, com kin Z.
Da componente i vem lambda=e^t. Da componente k igualamos t^2-2=lambda^2-3Substituindo t=2pi k e lambda=e^2pi k, obtemos
(2pi k)^2-2=(e^2pi k)^2-3que se rearranja em
4pi^2k^2+1=e^4pi k

Passo 3

Essa equação só se satisfaz para k=0, pois para kneq0 os dois lados têm ordens de grandeza incompatíveis. Assim t=0 e lambda=e^0=1.

Passo 4

Substituindo em vec r1(t) encontramos o ponto de interseção:
vec r1(0)=(e^0,2sin(tfracpi2),0^2-2)=(1,2,-2)

Resposta

(1,2,-2)

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