^a Questão. (20 pontos) Encontre a solução geral da EDO
x^2 y^prime prime+5 x y^prime+4 y=0, x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x^2y''+5x,y'+4y=0, x>0
Esse é um caso clássico de equação de Euler–Cauchy, em que os coeficientes são potências de x. Para resolver, vamos usar o método de tentar uma solução da forma
y = x^m

Passo 2

Supondo y = x^m, temos
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo na EDO, obtemos
x^2l[m(m-1)x^m-2r] +5xl[mx^m-1r]+4x^m =l[m(m-1)+5m+4r]x^m=0
Como x^mneq0 para x>0, segue a equação característica
m(m-1)+5m+4=0 Longrightarrow m^2+4m+4=0

Passo 3

Resolvendo
m^2+4m+4=0
temos De<a=4^2-4cdot1cdot4=0, logo existe raiz dupla
m=-2

Passo 4

Para equações de Euler–Cauchy com raiz dupla m, a solução geral é
y(x)=C1,x^m+C2,x^mln(x)
Substituindo m=-2 vem
y(x)=C1,x^-2+C2,x^-2ln(x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1,x^-2+C2,x^-2ln(x)

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