Resolva as integrais abaixo
\int_{-1}^{2}\left(1+x^{2}\right)(2-x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}(1+x^{2})(2-x)\,dx.
O conteúdo aqui é integral de polinômio e uso do Teorema Fundamental do Cálculo: encontramos uma primitiva e depois avaliamos nos limites.

Passo 2

Começamos expandindo o produto dentro da integral. Temos
(1+x^{2})(2-x) = 1\cdot2 + 1\cdot(-x) + x^{2}\cdot2 + x^{2}\cdot(-x) = 2 - x + 2x^{2} - x^{3}.
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\int_{-1}^{2}(1+x^{2})(2-x)\,dx = \int_{-1}^{2}\bigl(2 - x + 2x^{2} - x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora achamos uma primitiva F(x) de 2 - x + 2x^{2} - x^{3}. Integrando termo a termo:
\int 2\,dx = 2x,\quad \int (-x)\,dx = -\frac{x^{2}}{2},\quad \int 2x^{2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3},\quad \int (-x^{3})\,dx = -\frac{x^{4}}{4}.
Portanto, uma primitiva é
F(x) = 2x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{3}x^{3} - \frac{x^{4}}{4}.

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliamos F em x=2 e x=-1:
F(2) = 2\cdot2 - \frac{2^{2}}{2} + \frac{2}{3}\,2^{3} - \frac{2^{4}}{4} = 4 - 2 + \frac{16}{3} - 4 = -2 + \frac{16}{3} = \frac{10}{3},
F(-1) = 2\cdot(-1) - \frac{(-1)^{2}}{2} + \frac{2}{3}(-1)^{3} - \frac{(-1)^{4}}{4} = -2 - \tfrac12 - \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{4} = -\frac{41}{12}.

Passo 5

A integral vale
\int_{-1}^{2}(1+x^{2})(2-x)\,dx = F(2) - F(-1) = \frac{10}{3} - \bigl(-\tfrac{41}{12}\bigr) = \frac{10}{3} + \frac{41}{12} = \frac{40}{12} + \frac{41}{12} = \frac{81}{12} = \frac{27}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{27}{4}

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