Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
g(x)=\int_{1}^{x} \ln \left(1+t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado define a função
g(x) = \int_{1}^{x} \ln\bigl(1+t^{2}\bigr)\,dt
e pede g'(x). O conteúdo é o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivada de uma integral de limite variável com o integrando.

Passo 2

O Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo afirma que, se F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt e f é contínua, então
F'(x)=f(x)\cdot\frac{d}{dx}(x)=f(x).
Aqui temos f(t)=\ln\bigl(1+t^{2}\bigr), que é contínua para todo t.

Passo 3

Aplicando o teorema com a=1 e f(t)=\ln(1+t^{2}), obtemos
g'(x)=\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\times 1 = \ln\bigl(1+x^{2}\bigr).

Resposta

g'(x)=\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)

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