Questão 1 (20 pontos)
Prove as desigualdades abaixo:
(a) sen(x)<x para todo x>0;
(b) cos (x)>1-x^2 / 2 para todo x neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar duas desigualdades trigonométricas elementares:
(a) sin(x)<x para todo x>0;
(b) cos(x)>1-tfracx^22 para todo xneq0.
Conteúdo necessário: conhecemos as derivadas de sin e cos e a identidade do ângulo duplo cos x=1-2sin^2(x/2).

Passo 2

Prova de (a). Definimos a função
f(x)=sin(x)-x,
para x>0. Então
f'(x)=cos(x)-1<0
pois cos(x)<1 sempre que x>0. Logo f é estritamente decrescente em (0,infty) e, como f(0)=0, segue
f(x)<f(0)=0Rightarrowsin(x)-x<0Rightarrowsin(x)<x

Passo 3

Prova de (b). Primeiro notamos que cos(x) e 1-tfracx^22 são funções pares, i.e.\
cos(-x)=cos(x) e 1-(-x)^2/2=1-x^2/2. Basta então mostrar a desigualdade para x>0.
Pela parte (a) aplicada ao argumento x/2>0, temos
sinl(tfracx2r)<tfracx2 Longrightarrow sin^2l(tfracx2r)<x^24
Usando a identidade do ângulo duplo,
cos(x)=1-2sin^2l(tfracx2r) >1-2cdotx^24 =1-x^22

Resposta

(a) sin(x)<x para todo x>0.
(b) cos(x)>1-tfracx^22 para todo xneq0.

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