Questão 1 (20 pontos)
Prove as desigualdades abaixo:
(a)
para todo
;
(b)
para todo
.
Prove as desigualdades abaixo:
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para provar duas desigualdades trigonométricas elementares:
(a) para todo
;
(b) para todo
.
Conteúdo necessário: conhecemos as derivadas de e
e a identidade do ângulo duplo
.
(a)
(b)
Conteúdo necessário: conhecemos as derivadas de
Passo 2
Prova de (a). Definimos a função
para
. Então
pois
sempre que
. Logo
é estritamente decrescente em
e, como
, segue
Passo 3
Prova de (b). Primeiro notamos que
e
são funções pares, i.e.\
e
. Basta então mostrar a desigualdade para
.
Pela parte (a) aplicada ao argumento , temos
Pela parte (a) aplicada ao argumento
Usando a identidade do ângulo duplo,
Resposta
(a)
para todo
.
(b) para todo
.
(b)